Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x+1}{x-2} + \frac{x}{x-1}.

1. Wyznaczamy dziedzinę wyrażeń. Weźmy wyrażenie: \frac{x+1}{x-2}. W mianowniku nie może być zera. Zatem:

x-2 \neq 0

x \neq 2

Podobnie w drugim wyrażeniu wymiernym \frac{x}{x-1} mianownik musi być różny od 0, czyli:

x-1 \neq 0

x \neq 1

Ostatecznie należy odrzucić liczby 1 i 2, co zapisujemy:

D = \mathbb{R}\setminus\left\{1, 2\right\}

2. Dziedzinę wyznaczyliśmy. Mamy szczęście: w obydwu mianownikach mamy wielomiany stopnia 1, więc nie ma z czego robić postaci iloczynowej.

3. Wspólnym mianownikiem jest: (x-2)(x-1). Zatem pierwsze wyrażenie musimy rozszerzyć o czynnik (x-1), zaś drugie o (x-2):

\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)} + \frac{x(x-2)}{(x-1)(x-2)}

4. Mamy wspólne mianowniki, więc dodajemy wyrażenia:

\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)} + \frac{x(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{(x+1)(x-1) + x(x-2)}{(x-1)(x-2)}

5. I praktycznie tak już moglibyśmy to rozwiązanie zostawić, ale warto je uprościć. Zastosujmy wzór skróconego mnożenia (różnica kwadratów) do (x+1)(x-1), wymnóżmy x(x+2) i zróbmy redukcję wyrazów podobnych:

\frac{(x+1)(x-1) + x(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x^{2}-{1}^2 + x^{2}-2x}{(x-1)(x-2)} = \frac{2x^{2}-2x-1}{(x-1)(x-2)}

Zauważmy, że nie wymnażamy mianownika. Nie trzeba tego robić. Postać iloczynowa w mianowniku jest bardzo przydatna i jeśli ją mamy, to ją zachowajmy.

Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4} - \frac{x^{2}+5}{x^{2}+4x+3}.

1. Wyznaczamy dziedzinę wyrażeń. Weźmy wyrażenie: \frac{x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}. W mianowniku nie może być zera. Zatem znajdźmy dla jakich x mianownik nam się zeruje:

x^{3}+x^{2}-4x-4 = 0\hspace{4mm} (mamy równanie wielomianowe)

x^{2}(x+1)-4(x+1) = 0\hspace{4mm} (grupujemy wyrazy)

(x+1)(x^{2}-4) = 0

(x+1)(x-2)(x+2) = 0\hspace{4mm} (czynnik (x^{2}-4) rozłożyliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów)

x+1 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x-2 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x+2 = 0

x = -1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -2

Zatem będziemy musieli odrzucić trzy liczby: -2, -1 oraz 2.

Mamy jeszcze drugie wyrażenie wymierne: \frac{x^{2}+5}{x^{2}+4x+3} i dla niego też trzeba znaleźć dziedzinę:

x^{2}+4x+3 = 0\hspace{4mm} (mamy równanie kwadratowe)

\Delta = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 > 0, zatem mamy dwa rozwiązania:

x_{1} = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3

x_{2} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1

Ostatecznie (biorąc pod uwagę też dziedzinę wyrażenia \frac{x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4}) należy odrzucić liczby: -3, -2, -1 oraz 1, co zapisujemy:

D = \mathbb{R}\setminus\left\{-3, -2, -1, 1\right\}

2. Dziedzinę wyznaczyliśmy. Teraz doprowadźmy mianowniki do postaci iloczynowych. Ale podczas obliczania dziedziny dla wyrażenia: \frac{x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4} rozłożyliśmy już jego mianownik na czynniki:

x^{3}+x^{2}-4x-4 = (x+1)(x-2)(x+2)

Natomiast w przypadku wyrażenia: \frac{x^{2}+5}{x^{2}+4x+3} znaleźlismy miejsca zerowe jego mianownika, zatem możemy go zapisać w postaci iloczynowej:

x^{2}+4x+3 = (x+1)(x+3)

Czyli:

\frac{x-3}{x^{3}+x^{2}-4x-4} - \frac{x^{2}+5}{x^{2}+4x+3} = \frac{x-3}{(x+1)(x-2)(x+2)} - \frac{x^{2}+5}{(x+1)(x+3)}

3. Czas teraz na wspólny mianownik. Jest nim: (x+1)(x-2)(x+2)(x+3). Zatem pierwsze wyrażenie musimy rozszerzyć o czynnik (x+3), zaś drugie wyrażenie o czynniki (x-2)(x+2):

\frac{(x-3)(x+3)}{(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)} - \frac{(x^{2}+5)(x-2)(x+2)}{(x+1)(x+3)(x-2)(x+2)}

4. Mamy wspólne mianowniki, więc odejmujemy wyrażenia:

\frac{(x-3)(x+3)}{(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)} - \frac{(x^{2}+5)(x-2)(x+2)}{(x+1)(x+3)(x-2)(x+2)} = \frac{(x-3)(x+3) - (x^{2}+5)(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)}

5. Spróbujmy jeszcze uprościć otrzymane wyrażenie:

\frac{(x-3)(x+3) - (x^{2}+5)(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)} = \frac{(x^{2} - 9) - (x^{2}+5)(x^{2}-4)}{(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)} = \frac{x^{2} - 9 - (x^{4}-4x^{2}+5x^{2}-20)}{(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)} = \frac{x^{2} - 9 - x^{4}-x^{2}+20}{(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)} = \frac{-x^{4}+11}{(x+1)(x-2)(x+2)(x+3)}