Dzielenie wyrażeń wymiernych
Aby podzielić dwa wyrażenia wymierne należy:
- Wyznaczyć ich dziedzinę.
- Zapisać ich liczniki i mianowniki w postaci iloczynowej (rozłożyć wielomiany z liczników i mianowników na czynniki).
- Podzielić wyrażenia, czyli pierwsze wyrażenie pomnożyć przez odwrotność drugiego wyrażenia (tak jak przy dzieleniu ułamków), skracając te same czynniki ze sobą (o ile są).
W skrócie, dzielenie wyrażeń wymiernych możemy zapisać następująco:
Przy wyznaczaniu dziedziny nie tylko trzeba założyć, że mianowniki wyrażeń wymiernych muszą być różne od 0. Dodatkowo licznik wyrażenia, przez które dzielimy musi być również różny od 0, czyli:
Dlaczego W(x) \ne 0? Wyobraźmy sobie sytuację, że W(x) = 0. Wtedy:
\frac{P(x)}{Q(x)} : \frac{W(x)}{G(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} : 0 , co jest niedozwolone!
Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x-3}{x} : \frac{2-x}{x+4}.
1. Wyznaczmy dziedzinę. Najpierw pierwsze wyrażenie. Mianownik musi być różny od 0, czyli:
x \neq 0
Teraz wyrażenie drugie. Tutaj licznik i mianownik muszą być różne od 0, najpierw licznik:
2-x \neq 0
x \neq 2
Teraz mianownik:
x+4 \neq 0
x \neq -4
Ostatecznie z dziedziny musimy wyrzucić liczby 0, 2 i -4, czyli:
D = \mathbb{R}\setminus\left\{-4, 0, 2\right\}
2. Wszystkie wielomiany w mnożonych wyrażeniach to wielomiany stopnia 1, więc nie ma z czego robić postaci iloczynowych.
3. Podzielmy wyrażenia i skróćmy (o ile można):
\frac{x-3}{x} : \frac{2-x}{x+4} = \frac{x-3}{x} \cdot \frac{x+4}{2-x} = \frac{(x-3)(x+4)}{x(2-x)}
Jak widać nic się skrócić nie dało.
Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x-1}{x^{2}+3x} : \frac{x^2-3x}{x^{2}-9}.
1. Wyznaczmy dziedzinę. Najpierw pierwsze wyrażenie. Mianownik musi być różny od 0, więc szukamy wszystkich x, dla których jest on równy 0:
x^{2}+3x = 0
x(x+3) = 0
x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x+3 = 0
x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -3
Zatem na pewno odrzucimy liczby 0 i -3.
Teraz wyrażenie drugie. Tutaj licznik i mianownik muszą być różne od 0, najpierw licznik:
x^{2}-3x = 0
x(x-3) = 0
x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x-3 = 0
x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 3
Więc na pewno odrzucimy jeszcze liczbę 3.
Teraz mianownik:
x^{2}-9 = 0
(x-3)(x+3) = 0\hspace{4mm} (skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów)
x-3 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x+3 = 0
x = 3\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -3
Nic nowego nie odrzucimy, bo liczby 3 i -3 wyszły nam już wcześniej do odrzucenia.
Ostatecznie nasza dziedzina:
D = \mathbb{R}\setminus\left\{-3, 0, 3\right\}
2. Zapiszmy liczniki i mianowniki wyrażeń wymiernych w postaciach iloczynowych:
\frac{x-1}{x^{2}+3x} : \frac{x^2-3x}{x^{2}-9} = \frac{x-1}{x(x+3)} : \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}
3. Podzielmy wyrażenia i skróćmy (o ile można):
\frac{x-1}{x(x+3)} : \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x-1}{x\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{\cancel{(x+3)}\cancel{(x-3)}}{x\cancel{(x-3)}} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x^{2}}
Nic więcej nie uprościmy. Gotowe. Mamy wynik dzielenia.