Interpretacja geometryczna nierowności z wartością bezwzględną
Nierówności z wartością bezwzględną można interpretować geometrycznie bez ich rozwiązywania. Wystarczy tylko zapamiętać, że:
Zatem zapis:
- |x - 3| oznacza "odległość x od 3",
- |x - \frac{1}{2}| oznacza "odległość x od \frac{1}{2}",
- |x + 4| = |x - (-4)| oznacza "odległość x od -4",
- |x| = |x - 0| oznacza "odległość x od 0".
Teraz dodatkowo odczytujemy jaka ta odległość ma być:
- |x - a| < b oznacza, że "odległość x od a jest mniejsza od b",
- |x - a| \le b oznacza, że "odległość x od a jest mniejsza lub równa od b",
- |x - a| > b oznacza, że "odległość x od a jest większa od b",
- |x - a| \ge b oznacza, że "odległość x od a jest większa lub równa od b".
Przykład. Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań |x - 4| \ge 2.
Odczytujemy tę nierówność jako "odległość x od 4 jest większa lub równa 2". Zaznaczamy na osi te przedziały, w których liczby (x) są odległe od liczby 4 o więcej lub równo 2:
W powyższym przykładzie otrzymaliśmy przedział (-\infty,2\rangle\cup\langle 6,\infty) i jest to jednocześnie rozwiązanie nierówności |x - 4| \ge 2, czyli:
x\in(-\infty,2\rangle\cup\langle 6,\infty)
Przykład. Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań |x + 5| < 3.
Odczytujemy tę nierówność jako "odległość x od -5 jest mniejsza od 3", gdyż |x + 5| = |x - (-5)|. Zaznaczamy na osi liczbowej za pomocą przedziału te liczby (x), które są odległe od liczby -5 o mniej jak 3:
W powyższym przykładzie otrzymaliśmy przedział (-8,-2) i jest to jednocześnie rozwiązanie nierówności |x + 5| < 3, czyli:
x\in(-8,-2)
Odczytywanie nierówności z wartością bezwzględną z rysunku
Możemy też, mając przedstawione rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną na rysunku, domyślić się postaci nierówności z wartością bezwzględną, której ono dotyczy.
Przykład. Opisz poniższy przedział nierównością z wartością bezwzględną:
Mamy przedział (-\infty,-1)\cup(3,\infty). Wyznaczamy liczbę leżącą w tej samej odległości od liczby -1 jak i od liczby 3, czyli ich średnią arytmetyczną:
\frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1
Widać, że liczba 1 jest odległa o 2 od krańców przedziałów, zatem rysunek przedstawia "liczby (x) odległe od 1 o więcej jak 2 (otwarte krańce przedziałów)", co zapisujemy w postaci nierówności z wartością bezwzględną:
|x - 1| > 2
Przykład. Opisz poniższy przedział nierównością z wartością bezwzględną:
Mamy przedział \langle -4,-2\rangle. Wyznaczamy znów liczbę leżącą dokładnie pośrodku liczb -4 i -2:
\frac{-4+(-2)}{2} = \frac{-4-2}{2} = \frac{-6}{2} = -3\hspace{4mm} (średnia arytmetyczna liczb -4 i -2)
Liczba -3 jest odległa o 1 od krańców przedziału, zatem rysunek przedstawia "liczby (x) odległe od -3 o mniej lub równo 1 (domknięte krańce przedziału)", co zapisujemy w postaci nierówności z wartością bezwzględną:
|x - (-3)| \le 1
Czyli:
|x + 3| \le 1