Potęgowanie

1. Liczby rzeczywiste.

Podnieść liczbę do jakiejś potęgi. Czyli potęgowanie:

a^{n} oznacza n-tą potęgę liczby a, gdzie: a to podstawa potęgi, zaś n to wykładnik potęgi.

Czyli potęga, do której podnosimy pewną liczbę nazywana jest wykładnikiem, zaś liczba, którą potęgujemy – podstawą.

Potęga o wykładniku naturalnym

a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}

a^{0} = 1, gdzie a \neq 0.

3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\hspace{4mm} (3 to podstawa, zaś 4 to wykładnik)

Możemy zapamiętać, że minus w wyniku potęgi znika, gdy wykładnik jest parzysty, zaś pozostaje, gdy wykładnik jest nieparzysty:

(-2)^{5} = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32\hspace{4mm} (-2 to podstawa, zaś 5 to wykładnik)

(-2)^{4} = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16

1^{3} = 1

23^{0} = 1\hspace{4mm} (dowolna liczba, oprócz zera, podniesiona do potęgi 0 daje 1)

0^{0} to operacja niedozwolona!

a^{-b} = (\frac{1}{a})^{b} = \frac{1}{a^{b}}

5^{-2} = (\frac{1}{5})^{2} = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25}

(\frac{1}{2})^{-3} = 2^{3} = 8

(-3)^{-3} = (\frac{1}{-3})^{3} = \frac{1}{(-3)^{3}} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}, gdzie a \ge 0.

4^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{4^{3}} = \sqrt{4^{3}} = \sqrt{64} = 8

9^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{9^{2}} = \sqrt[3]{81}

Jeśli w liczniku wykładnika mamy 1, to otrzymujemy prostszy wzór:

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, gdzie a \ge 0.

4^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4} = \sqrt{4} = 2

27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3

(-16)^{\frac{1}{4}}, (-8)^{\frac{4}{3}} to operacje niedozwolone, gdyż podstawa musi być liczbą nieujemną.

O ile jest taka potrzeba, należy wykorzystywać wzór na wykładnik ujemny:

4^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4^{3}}} = \frac{1}{\sqrt{64}} = \frac{1}{8}

4^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}

Mamy kilka własności potęg, z których warto korzystać:

a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}\hspace{4mm} (iloczyn potęg o tej samej podstawie)

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}\hspace{4mm} (iloraz potęg o tej samej podstawie)

(a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}\hspace{4mm} (potęga potęgi)

(a\cdot b)^{m} = a^{m}\cdot b^{m}\hspace{4mm} (potęga iloczynu)

(\frac{a}{b})^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\hspace{4mm} (potęga ilorazu)