Równanie kierunkowe i ogólne prostej

8. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Równanie kierunkowe i ogólne prostej

Jak wiemy, wykresem funkcji liniowej y = ax + b jest prosta. Dlatego też:

Równanie y = ax + b nazywamy równaniem kierunkowym prostej.

Podobnie jak w funkcji liniowej, tak i w równaniu kierunkowym współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, zaś b nazywamy wyrazem wolnym.

Istnieje też inna postać prostej:

Równanie Ax + By + C = 0, gdzie A i B nie są jednocześnie równe 0, nazywamy równaniem ogólnym prostej.

W równaniu ogólnym prostej:

2x + y - 6 = 0 mamy: A = 2, B = 1, C = -6,
2y + 1 = 0 mamy: A = 0, B = 2, C = 1,
-x + 3 = 0 mamy: A = -1, B = 0, C = 3,
-2x + y = 0 mamy: A = -2, B = 1, C = 0.

Przewagą równania ogólnego nad kierunkowym jest to, że równaniem ogólnym możemy opisać wszystkie proste, nawet te, które nie są funkcjami, czyli proste równoległe do osi Oy. Mają one równanie postaci x = b, które powstaje z równania ogólnego: x - b = 0, gdzie b to punkt, w którym ich wykresy przecinają oś Ox. Na przykład:

prosta x - 1 = 0, czyli x = 1 jest równoległa do osi Oy i przecina oś Ox w punkcie 1,
prosta x + 3 = 0, czyli x = -3 jest równoległa do osi Oy i przecina oś Ox w punkcie -3.

wykresy prostych typu x - b = 0, czyli x = b
proste te nie są funkcjami, gdyż jednemu x przyporządkowanych jest nieskończenie wiele wartości y

Proste nazywamy małymi literami ze środka alfabetu, takimi jak: k, l, m, n, p. Warto nazwać prostą, by później jednoznacznie się do niej odnosić. Na rysunku prostą nazywamy wpisując oznaczającą ją literę przy jej wykresie, zaś w obliczeniach – przy jej wzorze, na przykład:

k\colon\ y=5x+2

l\colon\ 3x-4y+2 = 0

Z równania kierunkowego do równania ogólnego prostej

Aby z równania kierunkowego otrzymać równanie ogólne prostej należy wszystkie wyrażenia przerzucić na lewą stronę (tak aby po prawej zostało tylko 0) i uporządkować.

Przykład. Przekształć równanie kierunkowe prostej y = 3x - 5 do postaci ogólnej.

y = 3x - 5

Przerzucamy wszystkie wyrażenia na lewą stronę:

y - 3x + 5 = 0

Porządkujemy (najpierw x, później y i na koniec wyraz wolny):

-3x + y + 5 = 0

Gotowe. Otrzymaliśmy równanie ogólne prostej.

Pamiętajmy, że równanie kierunkowe prostej i odpowiadające mu równanie ogólne tej prostej to różne postacie opisu tej samej prostej.

Z równania ogólnego do równania kierunkowego prostej

Aby móc z równania ogólnego otrzymać równanie kierunkowe prostej musimy mieć w równaniu ogólnym y (jeśli y nie ma, to równanie kierunkowe nie istnieje). Wystarczy wtedy z równania ogólnego wyliczyć y.

Przykład. Przekształć równanie ogólne prostej -x + 5y - 3 = 0 do postaci kierunkowej.

-x + 5y - 3 = 0

Wyliczamy y:

5y = x + 3\hspace{4mm}|:5

y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}

Otrzymaliśmy równanie kierunkowe prostej.

Przykład. Przekształć równanie ogólne prostej 4x + 6 = 0 do postaci kierunkowej.

4x + 6 = 0

Nie ma w nim y, zatem równanie kierunkowe nie istnieje. Jest to prosta typu x = b:

4x = -6\hspace{4mm}|:4

x = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2}

Jest ona równoległa do osi Oy, czyli nie jest funkcją (stąd brak równania kierunkowego).

Wykres prostej zadanej równaniem ogólnym

Jeśli mamy do narysowania prostą o zadanym równaniu ogólnym, to najpierw przerabiamy je na równanie kierunkowe, a następnie rysujemy wykres tak powstałej funkcji liniowej. Jeśli równanie kierunkowe nie istnieje (bo nie ma y), to wyliczamy x, otrzymujemy równanie x = b i na wykresie prowadzimy prostą równoległą do osi Oy przechodzącą przez punkt b na osi Ox.