5. Ciągi.
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego spełniają zależność:
a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} dla n \ge 2.
Czyli środkowy z tych wyrazów jest zawsze średnią arytmetyczną swoich najbliższych sąsiadów (wyrazu poprzedniego i wyrazu następnego).
W zadaniach, gdzie mamy podane trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego ta zależność jest prawie zawsze wykorzystywana.
Przykład. Liczby (3,x,3x) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdź te liczby.
Skoro są to trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego to połączmy je powyższą zależnością:
x = \frac{3 + 3x}{2}
Obliczamy x:
x = \frac{3 + 3x}{2}\hspace{4mm}|\cdot 2
2x = 3+3x
-x = 3\hspace{4mm}|\cdot(-1)
x = -3
Czyli liczbami tymi są: (3,x,3x) = (3,-3,3\cdot(-3)) = (3,-3,-9).