Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego

5. Ciągi.

Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego spełniają zależność:

(a_{n})^{2} = a_{n-1}\cdot a_{n+1} dla n \ge 2.

Czyli kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi jego sąsiadów (wyrazu poprzedniego i wyrazu następnego).

W zadaniach, gdzie mamy podane trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego ta zależność jest prawie zawsze wykorzystywana.

Przykład. Liczby (4x,x,2) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdź te liczby.

Skoro są to trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego to połączmy je powyższą zależnością:

x^{2}=4x\cdot 2

Obliczamy x:

x^{2}=8x

x^{2}-8x=0

x(x-8)=0

x=0\hspace{4mm}\vee\hspace{4mm}x-8=0

x=0\hspace{4mm}\vee\hspace{4mm}x=8

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania:

dla x=0: (4x,x,2)=(4\cdot 0, 0, 2)=(0,0,2), ale to nie jest ciąg geometryczny, czyli to rozwiązanie odrzucamy,
dla x=8: (4x,x,2)=(4\cdot 8, 8, 2)=(32,8,2) i jest to ciąg geometryczny (q=\frac{1}{4}).

Czyli liczbami tymi są: (32,8,2).

Pamiętajmy, żeby zawsze w przypadku podobnych zadań sprawdzać czy uzyskane rozwiązania rzeczywiście generują nam wyrazy ciągu geometrycznego.