Wykres proporcjonalności odwrotnej (hiperbola)
Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola:
Jeśli a > 0 to proporcjonalność odwrotna jest funkcją malejącą, a hiperbola przechodzi przez I i III ćwiartkę układu współrzędnych:
funkcja maleje (a = 2 > 0)
Jeśli a < 0 to proporcjonalność odwrotna jest funkcją rosnącą, a hiperbola przechodzi przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych:
funkcja maleje (a = -1 < 0)
Zauważmy, że ramiona hiperboli zbliżają się do osi Ox i Oy. Zbliżają się, ale nigdy do nich nie dochodzą. Uważajmy więc, by przy rysowaniu nie najechać na żadną z osi układu.
Aby narysować wykres proporcjonalności odwrotnej należy obliczyć kilka punktów z hiperboli (tylko dla x > 0) i połączyć je hiperbolą w układzie współrzędnych.
Przykład. Narysuj wykres funkcji: y = \frac{3}{x}.
Obliczmy współrzędne kilku punktów dla x > 0. Możemy to zrobić w tabeli. Dobierzmy takie wartości x, by nie wychodziły skomplikowane wartości y:
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y = \frac{3}{x} |
y = \frac{3}{1} = 3
y = \frac{3}{2}
y = \frac{3}{3} = 1
Zatem:
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y = \frac{3}{x} | 3 | \frac{3}{2} | 1 |
Otrzymane punkty: (1,3), (2,\frac{3}{2}) oraz (3,1) zaznaczamy w układzie współrzędnych i łączymy hiperbolą:
na razie tylko dla x > 0
Drugą część hiperboli, dla x < 0, rysujemy łącząc hiperbolą punkty o współrzędnych przeciwnych do współrzędnych wcześniej obliczonych punktów: (-1,-3), (-2,-\frac{3}{2}) oraz (-3,-1):
Podobnie rysujemy wykresy proporcjonalności odwrotnych z a < 0.