Definicja klasyczna prawdopodobieństwa

10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa

Zakładamy, że przestrzeń zdarzeń elementarnych \Omega ma skończoną liczbę zdarzeń elementarnych i każde z nich jest jednakowo prawdopodobne. Wtedy prawdopodobieństwo definiujemy następująco:

Dla dowolnego A\subset\Omega: P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.

Kilka wyjaśnień:

P(A) to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A,
|A| to liczebność zdarzenia A,
|\Omega| to liczebność przestrzeni zdarzeń elementarnych \Omega (czyli liczba wszystkich zdarzeń elementarnych w doświadczeniu losowym).

Krótko: prawdopodobieństwo uzyskania jakiegoś wyniku to liczba sprzyjających wyników przez liczbę wszystkich możliwych wyników. Zatem chcąc obliczyć prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia:

Opisujemy przestrzeń zdarzeń elementarnych \Omega.
Upewniamy się, że każde zdarzenie elementarne jest jednakowo prawdopodobne.
Zliczamy liczbę elementów \Omega, czyli obliczamy |\Omega|.
Opisujemy zdarzenie A, którego prawdopodobieństwo zajścia chcemy obliczyć.
Zliczamy liczbę elementów zdarzenia A, czyli obliczamy |A|.
Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ze wzoru: P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.

Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek w rzucie symetryczną sześciościenną kostką do gry.

\Omega – wszystkie możliwe wyniki rzutu symetryczną sześciościenną kostką do gry

\Omega = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}

Kostka jest symetryczna, co oznacza, że wyrzucenie dowolnego wyniku jest jednakowo prawdopodobne (każde zachodzi z prawdopodobieństwem \frac{1}{6}).

|\Omega| = 6

A – zdarzenie polegające na wyrzuceniu parzystej liczby oczek

A=\left\{2, 4, 6\right\}

|A| = 3

Z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Zatem: prawdopdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek w rzucie symetryczną sześciościenną kostką do gry wynosi \frac{1}{2}.

W przypadku większej liczby zdarzeń elementarnych warto stosować dodatkowe elementy graficzne, które pomogą nam prawidłowo obliczyć prawdopodobieństwo. Znanymi metodami są tutaj:

Wartości prawdopodobieństwa

Wartość prawdopodobieństwa można wyrażać w liczbie lub w procencie:

P(A) = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%

P(B) = \frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4 = 40\%

Dla dowolnego A\subset\Omega: P(A)\in\langle 0,1\rangle.

Zatem minimalną wartością prawdopodobieństwa jest 0, zaś maksymalną jest 1. Jeśli otrzymujemy wartość prawdopodobieństwa ujemną lub większą od 1, to na pewno popełniliśmy gdzieś błąd.