0% przygotowania do matury

Iloczyn przedziałów (część wspólna przedziałów)

Mówiąc o iloczynie przedziałów (części wspólnej przedziałów), mówimy o iloczynie (części wspólnej) zbiorów. W praktyce, gdy mamy do przecięcia (słowo "przecięcie" oznacza właśnie "część wspólną") dwa przedziały najlepiej jest je narysować na osi liczbowej, a następnie spisać przedział, który obejmuje tylko część wspólną narysowanych przedziałów.

Zadanie. Znajdź część wspólną przedziałów: (2,5\rangle oraz \langle0,4).

Narysujmy te przedziały na jednej osi liczbowej:

przedziały (2,5\rangle oraz \langle0,4) na osi liczbowej

Teraz spiszmy przedział, który obejmuje tylko część wspólną narysowanych przedziałów. Patrząc od lewej strony będą to liczby od 2, bez tego krańca (niezamalowane kółko), aż po 4, też bez tego krańca (kółko niezamalowane). Czyli przedział: (2,4).

przedział (2,4) na osi liczbowej
(iloczyn przedziałów (2,5\rangle oraz \langle0,4))

Zadanie. Znajdź część wspólną przedziałów: (-\infty,3\rangle oraz (3,\infty).

Narysujmy te przedziały na jednej osi liczbowej:

przedziały (-\infty,3\rangle oraz (3,\infty) na osi liczbowej

Tym razem przedziały nie zachodzą na siebie. Spotykają się w punkcie 3, ale jeden przedział zawiera 3, zaś drugi nie zawiera tego krańca. Więc przedziały te nie mają części wspólnej, co zapisujemy symbolem zbiorem pustego: (-\infty,3\rangle\cap (3,\infty) = \emptyset. O takich przedziałach mówimy, że są rozłączne, czyli nie mają części wspólnej.

Zadanie. Znajdź część wspólną przedziałów: (-\infty,3\rangle oraz \langle3,\infty).

Narysujmy te przedziały na jednej osi liczbowej:

przedziały (-\infty,3\rangle oraz \langle3,\infty) na osi liczbowej

Ich jedynym punktem wspólnym jest liczba 3. Zatem: (-\infty,3\rangle\cap \langle 3,\infty) = \left\{3\right\}.

zbiór \{3\}
(iloczyn przedziałów (-\infty,3\rangle oraz \langle3,\infty))