Nierówność z niewiadomą w module

1. Liczby rzeczywiste

Nierówność z niewiadomą w module

Przydatna jest również umiejętność rozwiązywania prostych nierówności z niewiadomą w module. Chodzi o nierówności postaci:

|x| < \frac{1}{3}

|x| > 2

Nierówności ze znakiem <

|x| < a rozpisujemy na:
x < a \wedge x > -a

Podobnie:

|x| \le a rozpisujemy na:
x \le a \wedge x \ge -a

Jak zapamiętać, że spójnikiem logicznym jest tutaj \wedge? Obróćmy znak nierówności < o 90^{\circ} zgodnie z ruchem wskazówek zegara. I już mamy: \wedge.

Zatem:

|x| < \frac{1}{3}

x < \frac{1}{3}\hspace{4mm} \wedge\hspace{4mm} x > -\frac{1}{3}

Gotowe. Możemy jeszcze zapisać rozwiązanie w postaci przedziału liczbowego. Zaznaczmy rozwiązanie na osi liczbowej:

rozwiązanie x < \frac{1}{3} \wedge x > -\frac{1}{3} na osi liczbowej

Wyznaczamy iloczyn (część wspólną) tych dwóch przedziałów (spójnik logiczny \wedge):

rozwiązanie x < \frac{1}{3} \wedge x > -\frac{1}{3} na osi liczbowej (iloczyn przedziałów)

Czyli: x \in \left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).

W przypadku kiedy mamy nierówność z liczbą ujemną po prawej stronie, nie trzeba stosować powyższego rozpisania. Przykładowo mamy nierówność: |x| < -5. Mamy tutaj moduł mniejszy od -5. Ale moduł jest zawsze nieujemny, więc takie nierówności nigdy nie są spełnione. Zatem zawsze w takich przypadkach piszemy: x \in \emptyset (nie ma rozwiązania).

Nierówności ze znakiem >

|x| > a rozpisujemy na:
x > a \vee x < -a

Podobnie:

|x| \ge a rozpisujemy na:
x \ge a \vee x \le -a

Jak zapamiętać, że spójnikiem logicznym jest tutaj \vee? Podobnie jak poprzednio: obróćmy znak nierówności > o 90^{\circ} zgodnie z ruchem wskazówek zegara. I już mamy: \vee.

Zatem:

|x| > 2

x > 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x < -2

Mamy rozwiązanie. Możemy jeszcze zapisać to rozwiązanie w postaci przedziału liczbowego. Zaznaczmy rozwiązanie na osi liczbowej:

rozwiązanie x > 2 \vee x < -2 na osi liczbowej

Wyznaczamy sumę tych dwóch przedziałów (spójnik logiczny \vee):

rozwiązanie x > 2 \vee x < -2 na osi liczbowej (suma przedziałów)

Czyli: x \in (-\infty,-2) \cup (2,\infty).

W przypadku kiedy mamy nierówność z liczbą ujemną po prawej stronie, nie trzeba stosować powyższego rozpisania. Przykładowo mamy nierówność: |x| > -1. Mamy tutaj moduł większy od -1. Ale moduł jest zawsze \ge 0, więc takie nierówności są zawsze spełnione. Zatem zawsze w takich przypadkach piszemy: x \in \mathbb{R} (wszystkie rozwiązania rzeczywiste).