Przykład. Ciąg jest określony rekurencyjnie: \begin{cases}a_{1}=-2\\a_{n+1}=n\cdot a_{n}+4\end{cases}. Oblicz pięć początkowych wyrazów tego ciągu.

Znamy pierwszy wyraz:

a_{1}=-2

i wzór rekurencyjny:

a_{n+1}=n\cdot a_{n}+4

Aby obliczyć a_{2}, podstawiamy n=1 do wzoru rekurencyjnego:

a_{2}=1\cdot a_{1}+4=1\cdot (-2)+4=-2+4=2

Następnie, aby obliczyć a_{3}, podstawiamy n=2:

a_{3}=2\cdot a_{2}+4=2\cdot 2+4=4+4=8

Teraz obliczamy a_{4}, podstawiając n=3:

a_{4}=3\cdot a_{3}+4=3\cdot 8+4=24+4=28

I na koniec a_{5}, podstawiając n=4:

a_{5}=4\cdot a_{4}+4=4\cdot 28+4=112+4=116

Zatem pięć początkowych wyrazów tego ciągu to:

(-2,2,8,28,116,\ldots)

Przykład. Ciąg jest określony rekurencyjnie: \begin{cases}a_{1}=1\\a_{n+1}=-2a_{n}^2\end{cases}. Oblicz cztery początkowe wyrazy tego ciągu.

a_{1}=1

a_{2}=-2a_{1}^2=-2\cdot 1^2=-2\cdot 1=-2

a_{3}=-2a_{2}^2=-2\cdot (-2)^2=-2\cdot 4=-8

a_{4}=-2a_{3}^2=-2\cdot (-8)^2=-2\cdot 64=-128

Zatem:

(1,-2,-8,-128,\ldots)