Funkcja wykładnicza
Dziedziną funkcji wykładniczej jest D = \mathbb{R}.
Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, dlatego jej zbiorem wartości jest ZW = \mathbb{R}_+. Nie ma więc miejsc zerowych.
Wykres funkcji wykładniczej
Kształt wykresu funkcji wykładniczej zależy od podstawy a.
Dla a > 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca:
funkcja jest rosnąca (a = 2 > 1)
Dla a \in (0,1) funkcja wykładnicza jest malejąca:
funkcja jest malejąca (a = \frac{1}{3} \in (0,1))
Wykres funkcji wykładniczej zawsze przechodzi przez punkt (0,1). Dzieje się tak, ponieważ y = a^{0} = 1, niezależnie od wartości podstawy a.
Wykresy funkcji wykładniczych zbliżają się do osi Ox, ale nigdy do niej nie dochodzą. Uważajmy zatem, aby rysując wykres funkcji wykładniczej nie najechać na oś Ox.
Przy rysowaniu wykresu bierzemy pod uwagę, czy funkcja wykładnicza jest rosnąca (a > 1), czy malejąca (a \in (0,1)). Zaznaczamy punkt (0,1), przez który zawsze przechodzi wykres funkcji wykładniczej. Następnie obliczamy kilka punktów wykresu, najlepiej dwa dla x < 0 i dwa dla x > 0. Dobierajmy takie x, aby obliczone wartości y nie były za duże. Zaznaczamy obliczone punkty w układzie współrzędnych i łączymy krzywą.
Przykład. Narysuj wykres funkcji: y = 3^{x}.
Podstawa a = 3 > 1, zatem funkcja jest rosnąca. Zaznaczamy w układzie współrzędnych punkt (0,1), przez który na pewno wykres tej funkcji przechodzi:
Obliczamy współrzędne innych punktów wykresu. Możemy to zrobić w tabeli:
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| y = 3^{x} |
y = 3^{-2} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}
y = 3^{-1} = (\frac{1}{3})^{1} = \frac{1}{3}
y = 3^{1} = 3
y = 3^{2} = 9
Zatem:
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| y = 3^{x} | \frac{1}{9} | \frac{1}{3} | 3 | 9 |
Otrzymane punkty: (-2,\frac{1}{9}), (-1,\frac{1}{3}), (1,3) oraz (2,9) zaznaczamy w układzie współrzędnych i wszystkie łączymy krzywą rosnącą: