Funkcja wykładnicza

4. Funkcje.

Funkcję y = a^{x}, gdzie a > 0 i a \ne 1 nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie a.

Dziedzina funkcji wykładniczej to: D = \mathbb{R}.

Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie (dodatnia podstawa a podniesiona do dowolnej potęgi daje zawsze w wyniku liczbę dodatnią), zatem zbiór wartości funkcji wykładniczej to: ZW = \mathbb{R_{+}}. Skoro tylko wartości dodatnie, to funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych.

Wykres funkcji wykładniczej

Kształt wykresu funkcji wykładniczej zależy od podstawy a.

Dla a > 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca:

wykres funkcji wykładniczej y = 2^{x}
funkcja jest rosnąca (a = 2 > 1)

Dla a \in (0,1) funkcja wykładnicza jest malejąca:

wykres funkcji wykładniczej y = (\frac{1}{3})^{x}
funkcja jest malejąca (a = \frac{1}{3} \in (0,1))

Punktem specyficznym na wykresie funkcji wykładniczej jest punkt przecięcia z osią Oy. Zawsze jest to punkt (0,1), ponieważ dla x = 0 mamy y = a^{0} = 1, niezależnie od wartości podstawy a.

Wykresy funkcji wykładniczych zbliżają się do osi Ox, ale nigdy do niej nie dochodzą. Uważajmy zatem, aby rysując wykres funkcji wykładniczej nie najechać na oś Ox.

Przy rysowaniu wykresu bierzemy pod uwagę czy funkcja wykładnicza jest rosnąca (a > 1) czy malejąca (a \in (0,1)). Wykres funkcji wykładniczej na pewno przecina oś Oy na wysokości 1, zatem od razu w układzie współrzędnych zaznaczamy punkt (0,1). Następnie obliczamy kilka punktów wykresu, najlepiej dwa dla x < 0 i dwa dla x > 0. Dobierajmy takie x, aby obliczone wartości y nie były za duże. Zaznaczamy obliczone punkty w układzie współrzędnych i łączymy krzywą.

Przykład. Narysuj wykres funkcji: y = 3^{x}.

Podstawa a = 3 > 1, zatem funkcja jest rosnąca. Zaznaczamy w układzie współrzędnych punkt (0,1), przez który na pewno wykres tej funkcji przechodzi:

przez punkt (0,1) zawsze przechodzi wykres funkcji wykładniczej

Obliczamy współrzędne innych punktów wykresu. Możemy to zrobić w tabeli:

x	-2	-1	1	2
y = 3^{x}

y = 3^{-2} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}

y = 3^{-1} = (\frac{1}{3})^{1} = \frac{1}{3}

y = 3^{1} = 3

y = 3^{2} = 9

Zatem:

x	-2	-1	1	2
y = 3^{x}	\frac{1}{9}	\frac{1}{3}	3	9

Otrzymane punkty: (-2,\frac{1}{9}), (-1,\frac{1}{3}), (1,3) oraz (2,9) zaznaczamy w układzie współrzędnych i wszystkie łączymy krzywą rosnącą:

wykres funkcji y = 3^{x}