0% przygotowania do matury

Liczba mieszana

Liczba mieszana to liczba złożona z części całkowitej i części ułamkowej. Na przykład: 1\frac{1}{2} to liczba mieszana, mamy tu część całkowitą równą 1 i część ułamkową równą \frac{1}{2}.

Każdą liczbę mieszaną można zamienić na ułamek niewłaściwy i odwrotnie: każdy ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną.

Liczba mieszana na ułamek niewłaściwy: 2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}. Inaczej to samo krócej: mnożymy całości przez mianownik, dodajemy licznik i wpisujemy wynik do nowego licznika: 2\frac{1}{2} = \frac{2\cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}.

Ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: \frac{34}{6} = \frac{30 + 4}{6} = \frac{30}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5\cdot6}{6} + \frac{2}{3} = 5 + \frac{2}{3} = 5\frac{2}{3}. Inaczej to samo krócej: w 34 mieści się pięć pełnych szóstek i zostaje nam 4 reszty, zatem: \frac{34}{6} = 5\frac{4}{6} = 5\frac{2}{3}. Często na zamianę ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną mówimy "wyciąganie całości z ułamka".

Przy dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu liczb mieszanych i ułamków, liczby mieszane zamieniamy na ułamki niewłaściwe:

5\frac{3}{4} \cdot (\frac{5}{6} + 3\frac{2}{3}) : 2\frac{8}{11} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4} \cdot (\frac{5}{6} + \frac{3\cdot 3 + 2}{3}) : \frac{2 \cdot 11 + 8}{11} = \frac{23}{4} \cdot (\frac{5}{6} + \frac{11}{3}) : \frac{30}{11} = \frac{23}{4} \cdot (\frac{5}{6} + \frac{11\cdot 2}{3\cdot 2}) \cdot \frac{11}{30} = \frac{23}{4} \cdot (\frac{5}{6} + \frac{22}{6}) \cdot \frac{11}{30} = \frac{23}{4} \cdot \frac{27}{6} \cdot \frac{11}{30} = ...

Skracamy na krzyż 27 z 30 przez 3:

...\ = \frac{23}{4} \cdot \frac{9}{6} \cdot \frac{11}{10} = ...

I teraz jeszcze skracamy ułamek \frac{9}{6} do \frac{3}{2}:

...\ = \frac{23}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{11}{10} = \frac{23\cdot 3\cdot 11}{4\cdot 2\cdot 10} = \frac{759}{80}