0% przygotowania do matury

Liczby wymierne

Liczby wymierne to wszystkie liczby, które da się przedstawić w postaci ułamka o liczniku i mianowniku całkowitym, czyli: \frac{a}{b}, gdzie a, b \in \mathbb{C}, b \ne 0.

\frac{3}{4} to liczba wymierna, -\frac{5}{2} = \frac{-5}{2} to też liczba wymierna. 2 jest liczbą wymierną, gdyż można ją przedstawić w postaci \frac{2}{1} lub \frac{4}{2}. Ale już \frac{\sqrt{2}}{2} nie jest liczbą wymierną, gdyż \sqrt{2} \notin \mathbb{C}. Ale nie wszystko co jest z pierwiastkiem nie jest zaraz liczbą wymierną: \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} to inaczej (po skróceniu \sqrt{2}): \frac{1}{2} czyli jak najbardziej liczba wymierna. Więc zanim zadecydujemy czy jakaś liczba jest liczbą wymierną, uprośćmy ją, poskracajmy to co możliwie, a jeśli mamy niewymierność w mianowniku, to ją usuńmy.

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem \mathbb{W}. Zatem możemy zapisać:

\mathbb{W} = \left\{\frac{a}{b}: a, b \in \mathbb{C}, b \ne 0\right\}\hspace{4mm} (czytamy: "liczby \frac{a}{b} takie, że a i b należy do zbioru liczb całkowitych i b \ne 0")

Każdą liczbę całkowitą da się przedstawić w postaci ułamka o całkowitych liczniku i mianowniku (wystarczy do mianownika wpisać 1), zatem zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych, a ponieważ \mathbb{N} \subset \mathbb{C} to ostatecznie:

\mathbb{N} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{W}

Liczby wymierne mają rozwinięcie dziesiętne skończone lub okresowe.