Logarytm

1. Liczby rzeczywiste.

Aby obliczyć logarytm \log_{a}b (logarytm o podstawie a z b) wystarczy zadać sobie pytanie: "Do jakiej potęgi muszę podnieść a, aby otrzymać b?".

Przykład. Oblicz: \log_{2}8, \log_{\frac{1}{2}}2, \log_{3}\frac{1}{9}, \log_{2}\sqrt{2}.

\log_{2}8 to logarytm o podstawie 2 z 8. Do jakiej potęgi muszę podnieść 2, aby otrzymać 8?

\log_{2}8 = 3, bo 2^{3} = 8.

\log_{\frac{1}{2}}2 to logarytm o podstawie \frac{1}{2} z 2. Do jakiej potęgi muszę podnieść \frac{1}{2}, aby otrzymać 2?

\log_{\frac{1}{2}}2 = -1, bo (\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{2}{1})^{1} = 2.

\log_{3}\frac{1}{9} to logarytm o podstawie 3 z \frac{1}{9}. Do jakiej potęgi muszę podnieść 3, aby otrzymać \frac{1}{9}?

\log_{3}\frac{1}{9} = -2, bo 3^{-2} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}.

\log_{2}\sqrt{2} to logarytm o podstawie 2 z \sqrt{2}. Do jakiej potęgi muszę podnieść 2, aby otrzymać \sqrt{2}?

\log_{2}\sqrt{2} = \frac{1}{2}, bo 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{2} = \sqrt{2}.

\log_{a}b = c wtedy i tylko wtedy, gdy a^{c} = b.

Liczbę a nazywamy podstawą logarytmu, zaś liczbę b liczbą logarytmowaną. Zarówno podstawa logarytmu jak i liczba logarytmowana muszą być dodatnie, przy czym podstawa logarytmu dodatkowo nie może być równa 1 (a, b > 0, a\ne 1).

\log b to tzw. logarytm dziesiętny, czyli logarytm o podstawie 10: \log_{10}b.

Czyli zapis \log100 powinniśmy czytać jako "logarytm dziesiętny ze 100" i rozumieć jako \log_{10}100 (logarytm o podstawie 10 ze 100).

Własności logarytmu

Mamy kilka własności logarytów, z których warto korzystać:

\log_{a}(b\cdot c) = \log_{a}b + \log_{a}c\hspace{4mm} (logarytm z iloczynu)

\log_{a}(\frac{b}{c}) = \log_{a}b - \log_{a}c, gdzie c \ne 0.\hspace{4mm} (logarytm z ilorazu)

\log_{a}(b^{c}) = c \cdot \log_{a}b\hspace{4mm} (logarytm z potęgi)

\log_{a}1 = 0\hspace{4mm} (logarytm z jedynki)