0% przygotowania do matury

Metoda drzewa

Najczęściej metodę drzewa stosujemy gdy mamy kilka jednakowych pod względem pewnej cechy obiektów, które podlegają losowaniu. Na przykład:

  • kilka kul tego samego koloru,
  • kilka tych samych liczb w zbiorze,
  • kilka ścianek kostki do gry z tą samą liczbą oczek.

Zadanie. Mamy dwa pojemniki. W pierwszym znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Jak widzimy, mamy w pojemnikach po kilka kul tego samego koloru, to znaczy, że na przykład zdarzenie elementarne typu (\text{b},\text{c}) (kula biała z pierwszego pojemnika i kula czarna z drugiego pojemnika) można uzyskać, z reguły mnożenia, aż na 4\cdot 3=12 sposobów.

Idealnym rozwiązaniem będzie tu metoda drzewa. Gdy stosujemy tę metodę, nie potrzebujemy opisywać przestrzeni zdarzeń elementarnych \Omega. Robimy tylko rysunek i obliczamy z niego prawdopodobieństwo zdarzenia, które nas interesuje.

Jak rysujemy drzewo?

Mamy dwa pudełka, z których losujemy po jednej kuli, więc drzewo będzie miało dwa poziomy.

Poziom pierwszy drzewa odpowiada losowaniu pierwszej kuli, czyli kuli z pierwszego pudełka (9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone). Mamy trzy możliwości:

  • wylosowanie kuli białej (\text{b}) – mamy 4 kule białe na 9 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{4}{9},
  • wylosowanie kuli czarnej (\text{c}) – mamy 3 kule czarne na 9 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{3}{9},
  • wylosowanie kuli zielonej (\text{z}) – mamy 2 kule zielone na 9 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{2}{9}.
poziom pierwszy drzewa: losowanie jednej kuli z pierwszego pudełka

Poziom drugi drzewa odpowiada losowaniu drugiej kuli, czyli kuli z drugiego pudełka (6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona). Mamy trzy możliwości:

  • wylosowanie kuli białej (\text{b}) – mamy 2 kule białe na 6 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{2}{6},
  • wylosowanie kuli czarnej (\text{c}) – mamy 3 kule czarne na 6 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{3}{6},
  • wylosowanie kuli zielonej (\text{z}) – mamy 1 kulę zieloną na 6 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{1}{6}.
pełne drzewo (poziom pierwszy i drugi drzewa): losowanie jednej kuli z pierwszego pudełka i losowanie drugiej kuli z drugiego pudełka

Niech:

A – zdarzenie polegające na wylosowaniu obu kul tego samego koloru

Zaznaczmy na drzewie te ścieżki, które odpowiadają zdarzeniu A, czyli zdarzeniom elementarnym typu: (\text{b},\text{b}), (\text{c},\text{c}) lub (\text{z},\text{z}):

zdarzenie A – wylosowanie obu kul tego samego koloru

Aby obliczyć P(A) wystarczy przemnożyć prawdopodobieństwa w ramach poszczególnych ścieżek zaznaczonych na drzewie, a otrzymane wyniki dodać do siebie:

P(A)=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{6}+\frac{3}{9}\cdot\frac{3}{6}+\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{6}=\frac{4\cdot 2}{9\cdot 6}+\frac{3\cdot 3}{9\cdot 6}+\frac{2\cdot 1}{9\cdot 6}=\frac{8}{54}+\frac{9}{54}+\frac{2}{54}=\frac{8+9+2}{54}=\frac{19}{54}

Jak widać, nie było sensu skracać cząstkowych prawdopodobieństw, które otrzymaliśmy na gałęziach drzewa. Dzięki temu, przy liczeniu P(A) otrzymaliśmy od razu wspólny mianownik przy ułamkach, które musieliśmy zsumować. Oczywiście ostateczny wynik (o ile można) powinniśmy skrócić.

Jeśli podczas rysowania drzewo nadmiernie nam się rozrasta (dużo gałęzi, dużo poziomów), to znak, że metoda drzewa nie za bardzo w tym przypadku się sprawdza i trzeba rozważyć inną (np. metodę tabeli czy też zliczanie z użyciem reguły mnożenia).