Monotoniczność ciągu geometrycznego

6. Ciągi

O monotoniczności ciągu geometrycznego decydują jego pierwszy pierwszy wyraz a_{1} oraz iloraz q.

Jeśli a_{1} > 0 i q > 1 lub a_{1} < 0 i 0 < q < 1, to ciąg geometryczny jest rosnący.

Jeśli a_{1} > 0 i 0 < q < 1 lub a_{1} < 0 i q > 1, to ciąg geometryczny jest malejący.

Jeśli q = 1 lub a_{1} = 0, to ciąg geometryczny jest stały.

Jeśli q \le 0, to ciąg geometryczny nie jest ani rosnący, ani malejący, ani stały.

Na przykład:

w ciągu geometrycznym (\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \ldots) mamy a_{1} = \frac{1}{2} > 0 i q = 2 > 1 i ciąg jest rosnący
w ciągu geometrycznym (-3, -1, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, -\frac{1}{27}, \ldots) mamy a_{1} = -3 < 0 i 0 < q = \frac{1}{3} < 1 i ciąg jest rosnący
w ciągu geometrycznym (6, 3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \ldots) mamy a_{1} = 6 > 0 i 0 < q = \frac{1}{2} < 1 i ciąg jest malejący
w ciągu geometrycznym (-4, -12, -36, -108, \ldots) mamy a_{1} = -4 < 0 i q = 3 > 1 i ciąg jest malejący
w ciągu geometrycznym (2, 2, 2, 2, ...) mamy q = 1 i ciąg jest stały
w ciągu geometrycznym (-3, -3, -3, -3, ...) mamy q = 1 i ciąg jest stały
w ciągu geometrycznym (0, 0, 0, 0, ...) mamy a_{1} = 0 i ciąg jest stały
w ciągu geometrycznym (-1, 2, -4, 8, -16, ...) mamy q = -2 < 0 i nie jest to ciąg ani rosnący, ani malejący, ani stały
w ciągu geometrycznym (4, 0, 0, 0, 0, ...) mamy q = 0 i nie jest to ciąg ani rosnący, ani malejący, ani stały