0% przygotowania do matury

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny jest monotoniczny (rosnący lub malejący) jeśli iloraz q > 0 i q \ne 1:

  • w ciągu geometrycznym (\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \ldots) iloraz q = 2 > 0 i ciąg jest rosnący,
  • w ciągu geometrycznym (-3, -1, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, -\frac{1}{27}, \ldots) iloraz q = \frac{1}{3}>0 i ciąg jest rosnący,
  • w ciągu geometrycznym (6, 3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \ldots) iloraz q = \frac{1}{2} >0 i ciąg jest malejący,
  • w ciągu geometrycznym (-4, -12, -36, -108, \ldots) iloraz q = 3>0 i ciąg jest malejący.

Jeśli q = 1, to ciąg jest stały:

  • w ciągu geometrycznym (2, 2, 2, 2, ...) iloraz q = 1 i ciąg jest stały,
  • w ciągu geometrycznym (-3, -3, -3, -3, ...) iloraz q = 1 i ciąg jest stały.

W pozostałych przypadkach, czyli gdy q \le 0, ciąg nie jest rosnący, nie jest malejący, ani też nie jest stały:

  • w ciągu geometrycznym (-1, 2, -4, 8, -16, ...) iloraz q = -2 < 0 i nie jest to ciąg rosnący, ani malejący ani stały,
  • w ciągu geometrycznym (4, 0, 0, 0, 0, ...) iloraz q = 0 i nie jest to ciąg rosnący, ani malejący ani stały.

Wyjątek stanowi przypadek, gdy pierwszy wyraz ciągu jest równy 0. Wtedy ciąg geometryczny dla dowolnego q jest stały: (0, 0, 0, 0, ...).