0% przygotowania do matury

Monotoniczność ciągu

Ciągi mogą być monotoniczne, czyli rosnące lub malejące. Ciąg jest rosnący jeśli kolejne wyrazy ciągu są coraz większe. Ciąg jest malejący jeśli kolejne wyrazy ciągu są coraz mniejsze. To samo można zapisać w ten sposób:

Ciąg (a_{n}) jest rosnący jeśli dla dowolnego n \in \mathbb{N_{+}}: a_{n+1} > a_{n}.

Ciąg (a_{n}) jest malejący jeśli dla dowolnego n \in \mathbb{N_{+}}: a_{n+1} < a_{n}.

Zatem, aby sprawdzić czy ciąg jest rosnący lub malejący wystarczy zbadać różnicę pomiędzy dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami ciągu: a_{n+1}-a_{n}, gdzie a_{n+1} oznacza wzór ogólny na (n+1)-szy wyraz ciągu, zaś a_{n} – wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu:

  • gdy ciąg będzie rosnący, to dla dowolnego n: a_{n+1}-a_{n} > 0 (bo a_{n+1} > a_{n}),
  • gdy ciąg będzie malejący, to dla dowolnego n: a_{n+1}-a_{n} < 0 (bo a_{n+1} < a_{n}).

Zadanie. Zbadaj monotoniczność ciągu: a_{n} = \frac{3}{n+1}.

Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_{1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}

a_{2} = \frac{3}{2+1} = \frac{3}{3} = 1

a_{3} = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}

a_{4} = \frac{3}{4+1} = \frac{3}{5}

Widać, że ciąg maleje. Ale na razie sprawdziliśmy tylko cztery pierwsze wyrazy, a ciąg ma ich nieskończoną liczbę. Aby sprawdzić czy ciąg jest malejący, zbadamy znak różnicy a_{n+1}-a_{n}:

a_{n+1}-a_{n} = \frac{3}{(n+1)+1} - \frac{3}{n+1} = \frac{3}{n+2} - \frac{3}{n+1} = ...

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

...\ = \frac{3(n+1)}{(n+2)(n+1)} - \frac{3(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{3(n+1) - 3(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{3n+3-3n-6}{(n+2)(n+1)} = \frac{-3}{(n+2)(n+1)}

Otrzymaliśmy liczbę \frac{-3}{(n+2)(n+1)}. Licznik jest ujemny, a mianownik? W mianowniku mamy iloczyn dwóch liczb: (n+2) i (n+1). Obydwie liczby są dodatnie, bo n jest liczbą naturalną dodatnią. Zatem mianownik jest dodatni. Czyli cały ułamek jest zawsze ujemny (ujemna liczba przez dodatnią liczbę daje ujemną liczbę):

a_{n+1}-a_{n} = \frac{-3}{(n+2)(n+1)} < 0 dla dowolnego n, czyli ciąg (a_{n}) jest malejący.

Zadanie. Zbadaj monotoniczność ciągu: b_{n} = \frac{n-3}{5}.

Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

b_{1} = \frac{1-3}{5} = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5}

b_{2} = \frac{2-3}{5} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}

b_{3} = \frac{3-3}{5} = \frac{0}{5} = 0

b_{4} = \frac{4-3}{5} = \frac{1}{5}

Widać, że ciąg rośnie. Ale znów sprawdziliśmy tylko cztery pierwsze wyrazy, a ciąg ma ich nieskończoną liczbę. Aby sprawdzić czy ciąg jest rosnący, zbadamy znak różnicy b_{n+1}-b_{n}:

b_{n+1}-b_{n} = \frac{(n+1)-3}{5} - \frac{n-3}{5} = \frac{n-2}{5} - \frac{n-3}{5} = \frac{n-2-(n-3)}{5} = \frac{n-2-n+3}{5} = \frac{1}{5} > 0 dla dowolnego n, czyli ciąg (b_{n}) jest rosnący.

Zadanie. Zbadaj monotoniczność ciągu: c_{n} = n^{2} - 4n + 3.

Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

c_{1} = 1^{2} - 4\cdot1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0

c_{2} = 2^{2} - 4\cdot2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

c_{3} = 3^{2} - 4\cdot3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0

Nie trzeba więcej wypisywać. Widzimy, że wyrazy na początku zaczęły maleć (z 0 na -1), a później rosnąć (z -1 na 0). Zatem ciąg (c_{n}) nie jest ciągiem rosnącym ani malejącym.

Ciąg liczbowy może być jeszcze stały. Ciąg jest stały jeśli liczby go tworzące są sobie równe. Czyli:

Ciąg (a_{n}) jest stały jeśli dla dowolnego n \in \mathbb{N_{+}}: a_{n+1} = a_{n}.

Np. ciag a_{n} = -2 jest ciągiem stałym (jest złożony z samych liczb -2).