0% przygotowania do matury

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Aby zrozumieć czym jest najmniejsza wspólna wielokrotność, musimy najpierw zrozumieć czym jest wielokrotność liczby naturalnej dodatniej. Każda liczba naturalna dodatnia ma nieskończenie wiele wielokrotności:

Liczba 3 ma następujące wielokrotności: 3, 6, 9, 12, 15, ... .

Liczba 5 ma wielokrotności: 5, 10, 15, 20, 25, ... .

Wielokrotnością liczby a naturalnej dodatniej (a \in \mathbb{N_{+}}) nazywamy każdą liczbę postaci n\cdot a, gdzie n \in \mathbb{N_{+}} czyli a, 2a, 3a, 4a, 5a, ... .

Najmniejsza wspólna wielokrotność (\text{NWW}) dwóch liczb naturalnych dodatnich to ich wspólna wielokrotność najmniejsza z możliwych.

Dla liczb 12 i 18 \text{NWW} to 36, co zapisujemy jako: \text{NWW}(12,18) = 36. Jest tak gdyż 36 jest wielokrotnością 12 i 18 (stąd jest ona wspólna) i nie ma innej mniejszej wspólnej wielokrotności dla tych dwóch liczb.

Aby wyznaczyć \text{NWW} można skorzystać z największego wspólnego dzielnika (\text{NWD}):

\text{NWW}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\text{NWD}(a,b)}

Zadanie. Oblicz \text{NWW}(112,148).

Wyznaczmy \text{NWD}(112,148). Rozkładamy 112 i 148 na czynniki pierwsze:

112 = \bold{2}\cdot\bold{2}\cdot2\cdot2\cdot7

148 = \bold{2}\cdot\bold{2}\cdot37

\text{NWD} to iloczyn ich wspólnych czynników, czyli: \text{NWD}(112,148) = \bold{2}\cdot\bold{2} = 4.

Mamy \text{NWD}(112,148), więc możemy obliczyć \text{NWW}(112,148):

\text{NWW}(112, 148) = \frac{112\cdot 148}{\text{NWD}(112, 148)} = \frac{16576}{4} = 4144

Zadanie. Oblicz \text{NWW}(3850,660).

Rozkład na czynniki pierwsze:

3850 = \bold{2}\cdot\bold{5}\cdot5\cdot7\cdot\bold{11}

660 = \bold{2}\cdot2\cdot3\cdot\bold{5}\cdot\bold{11}

\text{NWD}(3850,660) = \bold{2}\cdot\bold{5}\cdot\bold{11} = 110

\text{NWW}(3850,660) = \frac{3850\cdot 660}{\text{NWD}(3850,660)} = \frac{2541000}{110} = 23100