1. Liczby rzeczywiste

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Aby zrozumieć czym jest najmniejsza wspólna wielokrotność, musimy najpierw zrozumieć czym jest wielokrotność liczby naturalnej dodatniej. Każda liczba naturalna dodatnia ma nieskończenie wiele wielokrotności:

Liczba 3 ma następujące wielokrotności: 3, 6, 9, 12, 15, ... .

Liczba 5 ma wielokrotności: 5, 10, 15, 20, 25, ... .

Wielokrotnością liczby a naturalnej dodatniej (a \in \mathbb{N_{+}}) nazywamy każdą liczbę postaci n\cdot a, gdzie n \in \mathbb{N_{+}} czyli a, 2a, 3a, 4a, 5a, ... .

Najmniejsza wspólna wielokrotność (\text{NWW}) dwóch liczb naturalnych dodatnich to ich wspólna wielokrotność najmniejsza z możliwych.

Dla liczb 12 i 18 \text{NWW} to 36, co zapisujemy jako: \text{NWW}(12,18) = 36. Jest tak gdyż 36 jest wielokrotnością 12 i 18 (stąd jest ona wspólna) i nie ma innej mniejszej wspólnej wielokrotności dla tych dwóch liczb.

Aby wyznaczyć \text{NWW} można skorzystać z największego wspólnego dzielnika (\text{NWD}):

\text{NWW}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\text{NWD}(a,b)}

Zadanie. Oblicz \text{NWW}(112,148).

Wyznaczmy \text{NWD}(112,148). Rozkładamy 112 i 148 na czynniki pierwsze:

112 = \bold{2}\cdot\bold{2}\cdot2\cdot2\cdot7

148 = \bold{2}\cdot\bold{2}\cdot37

\text{NWD} to iloczyn ich wspólnych czynników, czyli: \text{NWD}(112,148) = \bold{2}\cdot\bold{2} = 4.

Mamy \text{NWD}(112,148), więc możemy obliczyć \text{NWW}(112,148):

\text{NWW}(112, 148) = \frac{112\cdot 148}{\text{NWD}(112, 148)} = \frac{16576}{4} = 4144

Zadanie. Oblicz \text{NWW}(3850,660).

Rozkład na czynniki pierwsze:

3850 = \bold{2}\cdot\bold{5}\cdot5\cdot7\cdot\bold{11}

660 = \bold{2}\cdot2\cdot3\cdot\bold{5}\cdot\bold{11}

\text{NWD}(3850,660) = \bold{2}\cdot\bold{5}\cdot\bold{11} = 110

\text{NWW}(3850,660) = \frac{3850\cdot 660}{\text{NWD}(3850,660)} = \frac{2541000}{110} = 23100