0% przygotowania do matury

Największy wspólny dzielnik (NWD)

Największy wspólny dzielnik (\text{NWD}) dwóch liczb naturalnych dodatnich to dokładnie to, na co wskazuje nazwa :-) Na przykład dla liczb 12 i 18 \text{NWD} to 6, co zapisujemy jako: \text{NWD}(12,18) = 6. Jest tak gdyż 6 jest dzielnikiem 12 i 6 jest dzielnikiem 18 (stąd jest on wspólny) i nie ma innego większego dzielnika wspólnego dla tych dwóch liczb.

Aby wyznaczyć \text{NWD} dla dwóch liczb naturalnych dodatnich należy je najpierw rozłożyć na czynniki pierwsze.

Zadanie. Oblicz \text{NWD}(112,148).

Rozkładamy 112 i 148 na czynniki pierwsze:

112 = \bold{2}\cdot\bold{2}\cdot2\cdot2\cdot7

148 = \bold{2}\cdot\bold{2}\cdot37

Iloczyn ich wspólnych czynników pierwszych to \text{NWD}. Czyli:

\text{NWD}(112,148) = \bold{2}\cdot\bold{2} = 4

Zadanie. Oblicz \text{NWD}(3850,660).

Rozkład na czynniki pierwsze:

3850 = \bold{2}\cdot\bold{5}\cdot5\cdot7\cdot\bold{11}

660 = \bold{2}\cdot2\cdot3\cdot\bold{5}\cdot\bold{11}

Wybieramy wspólne czynniki pierwsze i obliczamy ich iloczyn:

\text{NWD}(3850, 660) = \bold{2}\cdot\bold{5}\cdot\bold{11} = 110

Zadanie. Oblicz \text{NWD}(350,429).

Rozkład na czynniki pierwsze:

350 = 2\cdot 5\cdot 5\cdot 7

429 = 3\cdot 11\cdot 13

Jak widać, liczby te nie mają wspólnych czynników pierwszych. Wtedy:

\text{NWD}(350, 429) = 1

Liczby takie nazywamy względnie pierwszymi.