Nierówność z wartością bezwzględną
Na maturze podstawowej z matematyki obowiązują nas tylko nierówności z wartością bezwzględną typu:
|x-a| < b
|x-a| \le b
|x-a| > b
|x-a| \ge b
gdzie a \in \mathbb{R}, zaś b>0.
Na przykład:
|x+5| < 7\hspace{4mm}(a=-5, b=7)
|x-2|\le 2\hspace{4mm}(a=2, b=2)
|x-4| > 6\hspace{4mm}(a=4, b=6)
|x+1|\ge 3\hspace{4mm}(a=-1, b=3)
|x|< 5\hspace{4mm}(a=0, b=5)
Nierówności z wartością bezwzględną ze znakiem <
Podobnie:
x-a \le b \hspace{1mm}\wedge\hspace{1mm} x-a \ge -b
Jak zapamiętać, że spójnikiem logicznym jest tutaj \wedge? Obróćmy znak nierówności < o 90^{\circ} zgodnie z ruchem wskazówek zegara. I już mamy: \wedge.
Przykład. Rozwiąż: |x+5| < 7.
|x+5| < 7
x+5 < 7\hspace{4mm} \wedge\hspace{4mm} x+5 > -7
x < 7-5\hspace{4mm} \wedge\hspace{4mm} x > -7-5
x < 2\hspace{4mm} \wedge\hspace{4mm} x > -12
Gotowe. Możemy jeszcze zapisać rozwiązanie w postaci przedziału liczbowego. Zaznaczmy rozwiązanie na osi liczbowej:
Wyznaczamy iloczyn (część wspólną) tych dwóch przedziałów (spójnik logiczny \wedge):
Czyli: x \in (-12,2).
Rozwiążmy jeszcze przykład, gdy a=0:
Przykład. Rozwiąż: |x|\le 2.
|x|\le 2
x \le 2\hspace{4mm} \wedge\hspace{4mm} x\ge -2
Gotowe, czyli: x \in \langle-2,2\rangle.
W przypadku kiedy mamy nierówność z liczbą ujemną po prawej stronie, nie trzeba stosować powyższego rozpisania. Na przykład w nierówności |x + 5| < -5 mamy wartość bezwzględną mniejszą od -5. Ale wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc takie nierówności nigdy nie są spełnione. Zatem zawsze w takich przypadkach piszemy: x \in \varnothing (nie ma rozwiązania).
Nierówności z wartością bezwzględną ze znakiem >
Podobnie:
x-a \ge b \hspace{1mm}\vee\hspace{1mm} x-a \le -b
Jak zapamiętać, że spójnikiem logicznym jest tutaj \vee? Podobnie jak poprzednio: obróćmy znak nierówności > o 90^{\circ} zgodnie z ruchem wskazówek zegara. I już mamy: \vee.
Przykład. Rozwiąż: |x+1|\ge 3.
|x+1|\ge 3
x+1 \ge 3\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x+1 \le -3
x \ge 3-1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x \le -3-1
x \ge 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x \le -4
Mamy rozwiązanie. Możemy jeszcze zapisać to rozwiązanie w postaci przedziału liczbowego. Zaznaczmy rozwiązanie na osi liczbowej:
Wyznaczamy sumę tych dwóch przedziałów (spójnik logiczny \vee):
Czyli: x \in (-\infty,-4 \rangle \cup \langle 2,\infty).
Rozwiążmy jeszcze przykład, gdy a=0:
Przykład. Rozwiąż: |x| > 4.
|x| > 4
x > 4\hspace{4mm} \wedge\hspace{4mm} x < -4
Gotowe, czyli: x \in (-\infty,-4) \cup (4,\infty).
W przypadku kiedy mamy nierówność z liczbą ujemną po prawej stronie, nie trzeba stosować powyższego rozpisania. Na przykład w nierówności |x + 2| > -1 mamy wartość bezwzględną większą od -1. Ale wartość bezwzględna jest zawsze \ge 0, więc takie nierówności są zawsze spełnione. Zatem zawsze w takich przypadkach piszemy: x \in \mathbb{R} (wszystkie rozwiązania rzeczywiste).