Nierówność z wartością bezwzględną
Dla wygody wprowadzimy podstawowe nierówności z wartością bezwzględną:
|x| < b
|x| \le b
|x| > b
|x| \ge b
gdzie b>0.
Na przykład:
|x| < 7\quad (b=7)
|x|\ge 3\quad (b=3)
Nierówności z wartością bezwzględną ze znakiem <
Podobnie:
-b \le x \le b
Przykład. Rozwiąż: |x| < 7.
|x| < 7
-7 < x < 7
Gotowe. Możemy jeszcze zapisać rozwiązanie w postaci przedziału liczbowego. Zaznaczmy rozwiązanie na osi liczbowej:
Czyli: x \in (-7,7).
Przypadek nierówności z liczbą ujemną
W przypadku gdy po prawej stronie znajduje się liczba ujemna, nie stosujemy powyższego rozpisania.
Na przykład:
|x| < -5
Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc taka nierówność nie ma rozwiązań.
Zapisujemy:
x \in \varnothing
Nierówności z wartością bezwzględną ze znakiem >
Podobnie:
x \ge b \hspace{1mm}\vee\hspace{1mm} x \le -b
Jak zapamiętać, że spójnikiem logicznym jest tutaj \vee? Obróćmy znak nierówności > o 90^{\circ} zgodnie z ruchem wskazówek zegara. I już mamy \vee.
Przykład. Rozwiąż: |x|\ge 3.
|x|\ge 3
x \ge 3\quad \vee\quad x \le -3
Mamy rozwiązanie. Możemy jeszcze zapisać to rozwiązanie w postaci przedziału liczbowego. Zaznaczmy rozwiązanie na osi liczbowej:
Czyli: x \in (-\infty,-3] \cup [3,\infty).
Przypadek nierówności z liczbą ujemną
W przypadku gdy po prawej stronie znajduje się liczba ujemna, nie stosujemy powyższego rozpisania.
Na przykład:
|x| > -1
Nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna.
Zapisujemy:
x \in \mathbb{R}