0% przygotowania do matury

Obliczanie procentów

Jak obliczać procenty?

Jeśli jedna liczba, załóżmy a, stanowi 65\% innej liczby, załóżmy b, to możemy to zapisać w postaci zależności:

a=65\%\cdot b=\frac{65}{100}\cdot b

Podobnie: jeśli jedna liczba, załóżmy x, stanowi 120\% innej liczby, załóżmy y, to możemy to zapisać w postaci zależności:

x=120\%\cdot y=\frac{120}{100}\cdot y

Zatem, jeśli mamy do obliczenia pewien procent z danej liczby, to wystarczy, że zamienimy procent na liczbę i przemnożymy przez tę liczbę. Na przykład: mamy do obliczenia 45\% z liczby 124. Zamieniamy 45\% na liczbę i mnożymy przez 124:

45\%\cdot 124 = \frac{45}{100}\cdot 124 = \frac{45\cdot 124}{100} = \frac{5580}{100} = \frac{558}{10} = \frac{279}{5} = 55\frac{4}{5}

Możemy się również posłużyć w tym przypadku proporcją: ustalamy, że 124 to 100\%, czyli nasza całość, zaś x (nasza niewiadoma) to 45\%. Układamy te wielkości w dwóch wierszach, procenty i liczby podpisując pod sobą:

100\%124(100\% to 124)
45\%x(45\% to x)

Proporcję tę możemy alternatywnie zapisać w postaci równości dwóch ilorazów:

\frac{100\%}{45\%} = \frac{124}{x}

Proporcję następnie zapisujemy w postaci prostego równania wymnażając liczby na krzyż i przyrównując do siebie:

100\%\cdot x = 45\%\cdot124 \hspace{4 mm}|:100\%

x = \frac{45\%\cdot124}{100\%}

x = \frac{9\cdot124}{20}

x = \frac{1116}{20} = \frac{279}{5} = 55\frac{4}{5}

Jak widzimy sposób ten w tym przypadku jest dłuższy, lecz wiele osób woli go ze względu na prostotę i intuicyjność zapisu proporcji. Ponadto z proporcji stosunkowo łatwo możemy rozwiązać bardziej skomplikowane zadanie niż tylko obliczenie pewnego procentu z liczby.

Zadanie. Oblicz ile kosztowała bluzka przed obniżką o 30\%, wiedząc że teraz kosztuje ona 77 zł.

Nie znamy ceny bluzki przed obniżką, zatem jest to nasze x, natomiast wiemy, że po obniżeniu o 30\% kosztuje 77 zł. Jeśli cenę obniżymy o 30\%, to bluzka po takiej obniżce kosztuje 70\% swojej pierwotnej ceny, czyli jak wiemy 77 zł. Możemy zatem zapisać następującą proporcję:

100\%x(cena bluzki przed obniżką)
70\%77(cena bluzki po obniżce)

I rozwiązujemy:

100\%\cdot77 = 70\%\cdot x \hspace{4 mm}|:70\%

x = \frac{100\%\cdot77}{70\%}

x = \frac{10\cdot77}{7}

x = \frac{770}{7} = 110

Czyli cena bluzki przed obniżka była równa 110 zł.

O ile obniżono cenę bluzki?

110 - 77 = 33\hspace{4 mm} (cena bluzki przed obniżką odjąć cena bluzki po obniżce daje kwotę, o którą obniżono cenę bluzki)

Czyli to 30\% to właśnie 33 zł.

To samo by można było obliczyć nie stosując proporcji. Przy tych samych oznaczeniach mielibyśmy, że jeśli obliczymy 70\% z ceny początkowej bluzki (czyli z x), to otrzymamy 77 zł (czyli cenę po obniżce):

70\%\cdot x = 77

Zamieniamy procent na liczbę:

\frac{70}{100}\cdot x = 77

\frac{7}{10}\cdot x = 77 \hspace{4 mm}|:\frac{7}{10}

x = 77:\frac{7}{10} = 77\cdot\frac{10}{7} = \frac{770}{7} = 110