0% przygotowania do matury

Odchylenie standardowe ważone

Gdy do liczb mamy przypisane wagi, nie możemy liczyć rozrzutu tych liczb ze zwykłego odchylenia standardowego, lecz z tzw. odchylenia standardowego ważonego. Odchylenie standardowe ważone n liczb x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} z przypisanymi wagami w_{1}, w_{2}, ..., w_{n}, których średnia ważona to \overline{x}, jest równe:

\sigma = \sqrt{\frac{x_{1}^{2}\cdot w_{1}+x_{2}^{2}\cdot w_{2}+\ldots+x_{n}^{2}\cdot w_{n}}{w_{1}+w_{2}+\ldots+w_{n}} - \overline{x}^{2}}

Zadanie. Poniższa tablica przedstawia zestawienie ocen końcowych z języka angielskiego uczniów pewnej klasy. Oblicz odchylenie standardowe tych ocen.

Ocena65432
Liczba uczniów52844

Ocena końcowa jest tutaj cechą (to z niej chcemy obliczyć odchylenie standardowe), jednak do każdej oceny jest przypisana liczba uczniów: szóstkę otrzymało 5 uczniów, piątkę otrzymało 2 uczniów itd. Liczba uczniów to waga. Musimy więc tutaj skorzystać ze wzoru na odchylenie standardowe ważone:

\sigma=\sqrt{\frac{6^{2}\cdot 5+5^{2}\cdot 2+4^{2}\cdot 8+3^{2}\cdot 4+2^{2}\cdot 4}{5+2+8+4+4}-\overline{x}^{2}}=\sqrt{\frac{180+50+128+36+16}{23}-\overline{x}^{2}}=\sqrt{\frac{410}{23}-\overline{x}^{2}}

Potrzebujemy jeszcze \overline{x}, czyli w tym przypadku średnią ważoną ocen końcowych:

\overline{x}=\frac{6\cdot 5+5\cdot 2+4\cdot 8+3\cdot 4+2\cdot 4}{5+2+8+4+4}=\frac{30+10+32+12+8}{23}=\frac{92}{23}=4

Mamy średnią ocenę końcową z angielskiego. Możemy doliczyć odchylenie standardowe:

\sigma=\sqrt{\frac{410}{23}-\overline{x}^{2}}=\sqrt{\frac{410}{23}-4^{2}}=\sqrt{\frac{410}{23}-16}=\sqrt{\frac{410}{23}-\frac{16\cdot 23}{23}}=\sqrt{\frac{410}{23}-\frac{368}{23}}=\sqrt{\frac{410-368}{23}}=\sqrt{\frac{42}{23}}

Zatem: odchylenie standardowe tych ocen jest równe \sqrt{\frac{42}{23}}.

Jeśli podczas liczenia odchylenia standardowego ważonego pod pierwiastkiem kwadratowym otrzymamy liczbę ujemną, to znaczy że na pewno popełniliśmy jakiś błąd.