0% przygotowania do matury

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe, które oznaczamy symbolem \sigma (czytamy: "sigma"), jest miarą rozrzutu danych od ich średniej. Jeśli odchylenie standardowe jest małe w stosunku do średniej, to znaczy że dane niewiele się różnią od ich średniej. Jeśli odchylenie standardowe jest duże w stosunku do średniej, to znaczy że dane mogą mocno odbiegać od ich uśrednionej wartości.

Mówiąc, że średni wiek pracownika pewnej firmy to 31\pm2 lata, mamy na myśli że średnia wieku jest równa 31 lat, zaś odchylenie standardowe: 2 lata. Tym samym, najwięcej pracowników jest w przedziale wiekowym: (31 - 2, 31 + 2) = (29, 33) lat.

Jeśli wartości, których rozrzut chcemy obliczyć, nie mają przypisanych wag, to obliczamy z nich odchylenie standardowe (jeśli mają wagi, to obliczamy odchylenie standardowe ważone).

Odchylenie standardowe n liczb x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}, których średnia arytmetyczna to \overline{x}, jest równe:

\sigma = \sqrt{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}}

Zadanie. Oblicz średnią i odchylenie standardowe temperatury mierzonej w stopniach Celsjusza: -1, 0, 3, 4, 1, -1.

Liczba pomiarów to n = 6. Średnia arytmetyczna:

\overline{x} = \frac{-1+0+3+4+1+(-1)}{6} = \frac{6}{6} = 1

Odchylenie standardowe:

\sigma = \sqrt{\frac{(-1)^{2}+0^{2}+3^{2}+4^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}{6} - 1^{2}} = \sqrt{\frac{1+0+9+16+1+1}{6} - 1} = \sqrt{\frac{28}{6} - \frac{6}{6}} = \sqrt{\frac{22}{6}} = \sqrt{\frac{11}{3}}

Zatem: średnia temperatura była równa 1^{\circ}C z odchyleniem standardowym na poziomie \sqrt{\frac{11}{3}}\phantom{'}^{\circ}C (\approx 1{,}9^{\circ}C).

Pod pierwiastkiem kwadratowym nie możemy otrzymać liczby ujemnej. Jeśli podczas liczenia odchylenia standardowego będziemy mieli taką sytuację, to znaczy że na pewno popełniliśmy jakiś błąd.