Potęgowanie

1. Liczby rzeczywiste

Potęgowanie

Podnoszenie liczby do potęgi nazywamy potęgowaniem:

Wyrażenie a^{n} oznacza n-tą potęgę liczby a, gdzie:

a – podstawa potęgi
n – wykładnik potęgi

Innymi słowy: podstawę potęgujemy, a wykładnik mówi, ile razy mnożymy ją przez siebie.

Potęga o wykładniku naturalnym

a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}

a^{0} = 1, gdzie a \neq 0

Na przykład:

3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81

Warto zapamiętać, że dla wykładników naturalnych potęga liczby ujemnej jest:

dodatnia, gdy wykładnik jest parzysty
ujemna, gdy wykładnik jest nieparzysty

Na przykład:

(-2)^{5} = -32

(-2)^{4} = 16

Liczba 1 podniesiona do dowolnej potęgi daje zawsze 1, na przykład:

1^{3} = 1

Dowolna liczba, oprócz zera, podniesiona do potęgi 0 daje 1, na przykład:

7^{0} = 1

Wyrażenie 0^{0} nie ma ustalonej wartości w zbiorze liczb rzeczywistych – jest nieokreślone.

Potęga o wykładniku ujemnym

a^{-b} = \frac{1}{a^{b}}, gdzie a \ne 0

Na przykład:

5^{-2} = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25}

\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^{3} = 8

(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^{3}} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}

Potęga o wykładniku wymiernym

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}, gdzie a \ge 0

Na przykład:

4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^{3}} = \sqrt{64} = 8

9^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{9^{2}} = \sqrt[3]{81}

Szczególny przypadek:

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, gdzie a \ge 0

Na przykład:

4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2

27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3

Wyrażenia typu:

(-16)^{\frac{1}{4}}

(-8)^{\frac{4}{3}}

nie są określone w zbiorze liczb rzeczywistych (dla standardowego zakresu maturalnego), ponieważ podstawa musi być nieujemna.

Dla wykładników ujemnych stosujemy:

a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}, gdzie a > 0

Na przykład:

4^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4^{3}}} = \frac{1}{\sqrt{64}} = \frac{1}{8}

4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}

Własności potęg

Najważniejsze własności potęg:

a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}\quad (iloczyn potęg o tej samej podstawie)

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}\quad (iloraz potęg o tej samej podstawie)

(a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}\quad (potęga potęgi)

(a\cdot b)^{m} = a^{m}\cdot b^{m}\quad (potęga iloczynu)

\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\quad (potęga ilorazu)