0% przygotowania do matury

Przystawanie trójkątów

Intuicyjnie: figury są przystające jeśli mają identyczny kształt i wielkość. Dwa odcinki są przystające jeśli są równej długości. Dwa kąty są przystające jeśli mają równą miarę. Dwa okręgi są przystające jeśli mają równe promienie.

Dwa trójkąty są przystające jeśli jeden z nich powstaje z drugiego poprzez możliwe (ale nie konieczne) odbicia symetryczne, przesunięcia i obroty. Wzrokowo trójkąty przystające można rozpoznać po tym, że oba mają równe odpowiednie boki i kąty.

Przystawanie trójkątów zapisujemy z użyciem symbolu \equiv (który czytamy jako "przystaje do"). Ważne jest, aby wypisując wierzchołki trójkątów zapisać je w takiej kolejności w jakiej ich boki i kąty przystają do siebie.

A
B
C
D
E
F
a
b
c
a
b
c
\alpha
\gamma
\beta
\alpha
\beta
\gamma
dwa przystające trójkąty
\triangle ABC \equiv \triangle EFD (czytamy: trójkąt ABC przystaje do trójkąta EFD)

Zapisaliśmy, że \triangle ABC \equiv \triangle EFD, a nie na przykład, że \triangle ABC \equiv \triangle DEF, gdyż bokiem odpowiadającym bokowi AB jest bok EF (spójrzmy na kąty przy wierzchołkach: wierzchołek A odpowiada wierzchołkowi E, zaś wierzchołek B odpowiada wierzchołkowi F). Stąd nasz zapis: \triangle \bold{AB}C \equiv \triangle \bold{EF}D.

Cechy przystawania trójkątów

Często domyślamy się, że dwa trójkąty przystają do siebie. Domysł jednak nie wystarczy. Należy swoje przypuszczenia poprzeć tzw. cechą przystawania trójkątów. Wyróżniamy trzy cechy przystawania trójkątów:

  • bok-bok-bok,
  • bok-kąt-bok,
  • kąt-bok-kąt.

Cecha bok-bok-bok (\text{bbb}): jeśli boki jednego trójkąta mają te same długości co boki drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. Jeśli zatem jeden trójkąt ma boki długości 2, 4 i 5 a drugi: 4, 2 i 5, to na pewno te trójkąty są przystające:

A
B
C
D
E
F
2
2
4
4
5
5
\triangle ABC \equiv \triangle EDF\text{ (bbb)}

Cecha bok-kąt-bok (\text{bkb}): jeśli dwa boki i kąt pomiędzy nimi w jednym trójkącie są równe dwóm bokom i kątowi pomiędzy nimi w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające. Jeśli zatem jeden i drugi trójkąt mają boki długości 3 i 5 i kąt pomiędzy nimi o mierze 30^{\circ} to na pewno te trójkąty są przystające:

A
B
C
D
E
F
30^{\circ}
30^{\circ}
3
3
5
5
\triangle ABC \equiv \triangle FDE\text{ (bkb)}

Cecha kąt-bok-kąt (\text{kbk}): jeśli bok i dwa kąty przy jego wierzchołkach w jednym trójkącie są równe bokowi i dwóm kątom przy jego wierzchołkach w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające. Jeśli zatem jeden i drugi trójkąt mają bok długości 3 i kąty przy jego wierzchołkach o miarach 60^{\circ} i 90^{\circ} to na pewno te trójkąty są przystające:

A
B
C
D
E
F
60^{\circ}
60^{\circ}
3
3
\triangle ABC \equiv \triangle FDE\text{ (kbk)}

Pamiętajmy o tym, aby zawsze po stwierdzeniu, że dwa trójkąty są przystające napisać w nawiasie z jakiej cechy przystawania trójkątów to wynika (wystarczy skrót nazwy cechy). Oczywiście wcześniej należy wykazać, że odpowiednie boki czy też kąty trójkątów są sobie równe.

Do czego nam to przystawanie trójkątów potrzebne?

Jak już pokażemy, że dwa trójkątyprzystające, to wiemy, że odpowiednie boki i kąty w tych trójkątach są sobie równe. I możemy z tego korzystać w rozwiązaniu zadania.