Równanie kwadratowe

3. Równania i nierówności. Układy równań.

Równanie kwadratowe to funkcja kwadratowa przyrównana do zera:

ax^{2} + bx + c = 0, gdzie a \neq 0.

Skoro jest ona przyrównana do zera, to znaczy że rozwiązując równanie kwadratowe szukamy takich x, aby wartość funkcji była równa 0, czyli inaczej miejsc zerowych tej funkcji (pierwiastków trójmianu kwadratowego).

Jeśli równanie nie ma postaci takiej, że po prawej stronie jest 0, zawsze można do takiej postaci doprowadzić przerzucając składniki z prawej strony na lewą (oczywiście ze zmienionym znakiem), np:

3x^{2} - 4x + 5 = x^{2} - 4x - 8

3x^{2} - x^{2} - 4x + 4x + 5 + 8 = 0

2x^{2} + 13 = 0

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Aby rozwiązać równanie kwadratowe najczęściej obliczamy wyróżnik \Delta, czyli znaną wszystkim deltę:

\Delta = b^2 - 4ac

Następnie sprawdzamy czy tak obliczona delta jest dodatnia, równa 0 czy też ujemna:

Jeżeli \Delta > 0, to mamy dwa rozwiązania: x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} i x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\hspace{4mm} (przykład)

Jak widzimy, jedyna różnica między x_{1} i x_{2} to inny znak przed \sqrt{\Delta}.

Jeżeli \Delta = 0, to mamy jedno rozwiązanie: x_{0} = \frac{-b}{2a}.\hspace{4mm} (przykład)

To tak jakbyśmy do jednego ze wzorów na x_{1} czy x_{2} podstawili 0 w miejsce \sqrt{\Delta}.

Jeżeli \Delta < 0, to nie mamy rozwiązań.\hspace{4mm} (przykład)

To chyba najłatwiej zapamietać :-)

W szczególnych przypadkach nie trzeba obliczać delty.