Rozwiązywanie równań kwadratowych – kiedy można bez delty?
Nie zawsze obliczanie delty jest konieczne.
Przy niektórych równaniach możemy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
Przykład. Rozwiąż równanie: x^{2} - 2x + 1 = 0.
Zauważmy, że:
x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\hspace{4mm} (kwadrat różnicy)
Zatem do rozwiązania mamy równanie:
(x - 1)^{2} = 0
Ponieważ jedynie 0 podniesione do kwadratu daje 0, to:
x - 1 = 0
x = 1
Przy równaniach typu ax^{2} + c = 0 wystarczy w standardowy sposób znaleźć wartość x:
Przykład. Rozwiąż równanie: 2x^{2} - 9 = 0.
2x^{2} - 9 = 0
2x^{2} = 9 \hspace{4 mm}|:2
x^{2} = \frac{9}{2} \hspace{4 mm}|\sqrt{\phantom{x}}
|x| = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\hspace{4mm} (równanie z wartością bezwzględną)
x = \frac{3\sqrt{2}}{2}\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -\frac{3\sqrt{2}}{2}
Przykład. Rozwiąż równanie: 3x^{2} + 5 = 0.
3x^{2} + 5 = 0
3x^{2} = -5 \hspace{4 mm}|:3
x^{2} = -\frac{5}{3}\hspace{4mm} (sprzeczność, gdyż kwadrat liczby jest zawsze większy lub równy 0)
x \in\varnothing\hspace{4mm} (brak rozwiązań)
Natomiast przy równaniach typu ax^{2} + bx = 0 wystarczy wyciągnąć x przed nawias i rozważyć iloczyn równy 0:
Przykład. Rozwiąż równanie: 2x^{2} - 6x = 0.
2x^{2} - 6x = 0\hspace{4 mm}|:2
x^{2} - 3x = 0
x(x - 3) = 0\hspace{4mm} (wyciągnęliśmy x przed nawias)
x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x - 3 = 0\hspace{4mm} (iloczyn jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0)
x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 3
Pamiętajmy, że powyższe przypadki można oczywiście rozwiązać stosując deltę. Rozwiązanie równania kwadratowego z wykorzystaniem delty jest rozwiązaniem uniwersalnym – działa zawsze.