0% przygotowania do matury

Rozwiązywanie równań kwadratowych – kiedy można bez delty?

Nie zawsze obliczanie delty jest konieczne.

Przy niektórych równaniach możemy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:

Zadanie. Rozwiąż równanie: x^{2} - 2x + 1 = 0.

Zauważmy, że:

x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\hspace{4mm} (kwadrat różnicy)

Zatem do rozwiązania mamy równanie:

(x - 1)^{2} = 0

Ponieważ jedynie 0 podniesione do kwadratu daje 0, to:

x - 1 = 0

x = 1

Przy równaniach typu ax^{2} + c = 0 wystarczy w standardowy sposób znaleźć wartość x:

Zadanie. Rozwiąż równanie: 2x^{2} - 9 = 0.

2x^{2} - 9 = 0

2x^{2} = 9 \hspace{4 mm}|:2

x^{2} = \frac{9}{2} \hspace{4 mm}|\sqrt{\phantom{x}}

|x| = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\hspace{4mm} (niewiadoma w module)

x = \frac{3\sqrt{2}}{2}\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -\frac{3\sqrt{2}}{2}

Zadanie. Rozwiąż równanie: 3x^{2} + 5 = 0.

3x^{2} + 5 = 0

3x^{2} = -5 \hspace{4 mm}|:3

x^{2} = -\frac{5}{3}\hspace{4mm} (sprzeczność, gdyż kwadrat liczby jest zawsze większy lub równy 0)

x \in\emptyset\hspace{4mm} (brak rozwiązań)

Natomiast przy równaniach typu ax^{2} + bx = 0 wystarczy wyciągnąć x przed nawias i rozważyć iloczyn równy 0:

Zadanie. Rozwiąż równanie: 2x^{2} - 6x = 0.

2x^{2} - 6x = 0\hspace{4 mm}|:2

x^{2} - 3x = 0

x(x - 3) = 0\hspace{4mm} (wyciągnęliśmy x przed nawias)

x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x - 3 = 0\hspace{4mm} (iloczyn jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0)

x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 3

Pamiętajmy, że powyższe przypadki można oczywiście rozwiązać stosując deltę. Rozwiązanie równania kwadratowego z wykorzystaniem delty jest rozwiązaniem uniwersalnym – działa zawsze.