Przykład. Dwa samochody wyruszają jednocześnie w swoim kierunku z miast A i B. Wiadomo, że średnia prędkość samochodu, który wyruszył z miasta A jest o 30 km/h większa od średniej prędkości samochodu, który wyruszył z miasta B oraz że spotykają się one w odległości 140 km od miasta A. Wiadomo też, że odległość pomiędzy miastami A i B to 220 km. Oblicz średnie prędkości obu aut.

Zróbmy rysunek:

C – punkt, w którym spotykają się auta

s_{A} – droga przejechana przez samochód z miasta A

t_{A} – czas jazdy samochodu z miasta A (auta wyruszają jednocześnie i spotykają się w punkcie C, więc t_{A} = t_{B})

v_{A} – szukana średnia prędkość samochodu z miasta A (większa o 30 km/h od v_{B}, więc: v_{A} = v_{B} + 30 km/h)

s_{B} – droga przejechana przez samochód z miasta B (wynosi 80 km, bo 220 - 140 = 80)

t_{B} – czas jazdy samochodu z miasta B

v_{B} – szukana średnia prędkość samochodu z miasta B

Mamy dwie niewiadome: v_{A} i v_{B}. Musimy więc utworzyć dwa równania.

Pierwsze równanie mamy od razu:

v_{A} = v_{B} + 30

Drugie równanie otrzymujemy z zależności na czas:

t = \frac{s}{v}

Ponieważ czasy są równe, mamy:

\frac{s_{A}}{v_{A}} = \frac{s_{B}}{v_{B}}

czyli:

\frac{140}{v_{A}} = \frac{80}{v_{B}}

Po wymnożeniu "na krzyż":

140 v_{B} = 80 v_{A}\quad |:20

7 v_{B} = 4 v_{A}

Otrzymujemy układ równań:

\begin{cases} v_{A} = v_{B} + 30 \\ 7 v_{B} = 4 v_{A} \end{cases}

Zauważmy, że nie zapisujemy jednostek w równaniach – ważne jest jedynie, aby były zgodne (tu: km i km/h). W przypadku innych jednostek należy je wcześniej przeliczyć. Jednostki zapisujemy dopiero w odpowiedzi.

Rozwiązujemy układ (podstawiamy v_{A} do drugiego równania):

7 v_{B} = 4\cdot (v_{B} + 30)

7 v_{B} = 4 v_{B} + 120

7 v_{B} - 4 v_{B} = 120

3 v_{B} = 120\quad |:3

v_{B} = \frac{120}{3} = 40

Podstawiamy wyniki do pierwszego równania i obliczamy v_{A}:

v_{A} = v_{B} + 30 = 40 + 30 = 70

Czyli:

\begin{cases} v_{A} = 70 \\ v_{B} = 40 \end{cases}

Odpowiedź:

Samochód z miasta A jechał ze średnią prędkością 70 km/h, a samochód z miasta B – 40 km/h.