Przykład. Dwa samochody wyruszają jednocześnie w swoim kierunku z miast A i B. Wiadomo, że średnia prędkość samochodu, który wyruszył z miasta A jest o 30 km/h większa od średniej prędkości samochodu, który wyruszył z miasta B oraz że spotykają się one w odległości 140 km od miasta A. Wiadomo też, że odległość pomiędzy miastami A i B to 220 km. Oblicz średnie prędkości obu aut.

Zróbmy rysunek:

C – punkt, w którym spotykają się auta

s_{A} – droga przejechana przez samochód, który wyruszył z miasta A

t_{A} – czas jazdy samochodu, który wyruszył z miasta A (auta wyruszają jednocześnie i spotykają się w punkcie C czyli t_{A} = t_{B})

v_{A} – szukana średnia prędkość przejechana przez samochód, który wyruszył z miasta A (większa o 30 km/h od średniej prędkości samochodu, który wyruszył z miasta B, stąd: v_{A} = v_{B} + 30 km/h)

s_{B} – droga przejechana przez samochód, który wyruszył z miasta B (jest równa 80 km, bo 220 - 140 = 80)

t_{B} – czas jazdy samochodu, który wyruszył z miasta B

v_{B} – szukana średnia prędkość przejechana przez samochód, który wyruszył z miasta B

Mamy dwie niewiadome w zadaniu: v_{A} i v_{B}. Musimy mieć zatem dwa równania z niewiadomymi v_{A} i v_{B}, by obliczyć te prędkości. Pierwsze równanie już mamy. Jest to: v_{A} = v_{B} + 30. Poszukamy drugiego równania.

Na czym jeszcze możemy postawić znak "="? Na drogach? Wiemy, że s_{A} + s_{B} = 220 km, ale to równanie już wykorzystaliśmy do obliczenia wartości s_{B}. Został nam zatem czas. Wiemy, że t_{A} = t_{B} oraz, że t = \frac{s}{v}, zatem:

\frac{s_{A}}{v_{A}} = \frac{s_{B}}{v_{B}}

Czyli:

\frac{140}{v_{A}} = \frac{80}{v_{B}}

Co po wymnożeniu "na krzyż" daje:

140 v_{B} = 80 v_{A}\hspace{4mm}|:20

7 v_{B} = 4 v_{A}

Mamy drugie równanie. Oba równania zapisujemy w układzie równań:

\begin{cases} v_{A} = v_{B} + 30 \\ 7 v_{B} = 4 v_{A} \end{cases}

Zauważmy, że nie piszemy jednostek. Ważne żeby układając równania mieć pewność, że jednostki się zgadzają. My mieliśmy prędkość w km/h i drogę w km. Jednostki się zgadzają. W przypadku gdybyśmy mieli na przykład drogę podaną w metrach (m) należałoby najpierw przeliczyć ją na km. Przy samych obliczeniach jednostki można pominąć. Należy pamietać, by napisać je jednak w samej odpowiedzi.

Rozwiążmy jeszcze powstały układ równań (v_{A} z pierwszego równania podstawiamy do drugiego i wyliczamy v_{B}):

7 v_{B} = 4\cdot (v_{B} + 30)

7 v_{B} = 4 v_{B} + 120

7 v_{B} - 4 v_{B} = 120

3 v_{B} = 120\hspace{4mm}|:3

v_{B} = \frac{120}{3} = 40

Podstawiamy wyniki do pierwszego równania i obliczamy v_{A}:

v_{A} = v_{B} + 30 = 40 + 30 = 70

Czyli:

\begin{cases} v_{A} = 70 \\ v_{B} = 40 \end{cases}

Jeszcze tylko odpowiedź:

Samochód, który wyjechał z miasta A jechał ze średnią prędkością równą 70 km/h, zaś samochód, który wyjechał z miasta B jechał ze średnią prędkością 40 km/h.