8. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Rozwinięta postać równania okręgu
Równanie okręgu może być zapisane w postaci rozwiniętej:
x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0, gdzie S = (a,b) to środek okręgu, zaś r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c} to promień okręgu.
Weźmy równanie pewnego okręgu w postaci rozwiniętej i przekształćmy do postaci zwiniętej:
x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 4 = 0
x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0
Widać, że:
-2a = 2, czyli: a = \frac{2}{-2} = -1
-2b = -4, czyli: b = \frac{-4}{-2} = 2
c = -4
Zatem:
S = (a,b) = (-1,2)
r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c} = \sqrt{(-1)^{2} + 2^{2} - (-4)} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
Możemy już zapisać równanie okręgu (w postaci zwiniętej):
(x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}
(x-(-1))^{2} + (y-2)^{2} = 3^{2}
(x+1)^{2} + (y-2)^{2} = 9