0% przygotowania do matury

Stożek

Weźmy trójkąt prostokątny i zacznijmy go obracać wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych:

prosta zawierająca przyprostokątną trójkąta
trójkąt prostokątny przed obrotem wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych
oś obrotu = oś walca
tworząca stożka
obracający się trójkąt prostokątny tworzy stożek (bryłę obrotową)

Stożek to bryła obrotowa, która powstaje poprzez obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej (zwanej osią stożka) zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Przeciwprostokątną trójkąta nazywamy tworzącą stożka i oznaczamy literą l. Na dole stożka otrzymujemy koło, które nazywamy podstawą stożka, zaś na górze kolec zakończony punktem, który nazywamy wierzchołkiem stożka. Wysokością stożka nazywamy odległość pomiędzy wierzchołkiem a podstawą stożka. Zatem prowadzimy ją po osi stożka. Dodatkowo na rysunku zaznaczamy też tworzącą stożka i promień podstawy:

oś stożka
podstawa
stożka
r
l
h
stożek z wysokością h, tworzącą l i promieniem r podstawy
Wysokość stożka tworzy kąt prosty z płaszczyzną podstawy.

W trójkącie tworzącym stożka możemy zapisać twierdzenie Pitagorasa dla jego boków:

l^{2} = r^{2} + h^{2}

Pole powierzchni całkowitej (P_{c}) stożka możemy podzielić na pole powierzchni bocznej (P_{b}) stożka i pole podstawy (P_{p}) stożka. Czyli w stożkach o promieniu podstawy r i wysokości h:

P_{b} = \pi rl
P_{p} = \pi r^{2}
P_{c} = P_{b} + P_{p} = \pi rl + \pi r^{2} = \pi r(l+r)

Objętość V stożka o promieniu podstawy r i wysokości h liczymy ze wzoru:

V = \frac{1}{3}P_{p}\cdot h = \frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot h