0% przygotowania do matury

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Jeśli potrzebujemy zsumować n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego to możemy skorzystać ze wzoru:

S_{n} = a_{1}\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q} dla q \ne 1.
S_{n} = n\cdot a_{1} dla q = 1.

a_{1} to pierwszy wyraz ciągu, zaś q to iloraz. Drugi wzór to przypadek, gdy q = 1, czyli gdy mamy ciąg stały. Wtedy oczywiście każdy wyraz ciągu jest taki sam i równy wyrazowi a_{1}, więc aby obliczyć sumę n początkowych wyrazów wystarczy wziąć n\cdot a_{1}.

Zadanie. Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o a_{1} = 9 i q = \frac{1}{2}.

Osiem początkowych wyrazów czyli n = 8. Korzystamy z pierwszego wzoru na sumę (bo q = \frac{1}{2} \ne 1):

S_{n} = a_{1}\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}

S_{8} = 9\cdot\frac{1-(\frac{1}{2})^{8}}{1-\frac{1}{2}} = 9\cdot\frac{1-\frac{1}{256}}{\frac{1}{2}} = 9\cdot\frac{\frac{255}{256}}{\frac{1}{2}} = 9\cdot\frac{255}{256}\cdot\frac{2}{1} = 9\cdot\frac{255}{128} = \frac{9\cdot255}{128} = \frac{2295}{128} = 17\frac{119}{128}

Zadanie. Oblicz sumę dwudziestu pięciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o a_{1} = 2 i q = 1.

Dwadzieścia pięć początkowych wyrazów czyli n = 25. Korzystamy z drugiego wzoru na sumę (bo q = 1):

S_{n} = n\cdot a_{1}

S_{25} = 25\cdot 2 = 50