9. Stereometria.
Sześcian
Sześcian to szczególny przypadek prostopadłościanu: wszystkie jego krawędzie są równej długości, czyli wszystkie jego boki to przystające kwadraty. Sześcian jest zatem wielościanem foremnym:
a
a
a
a
a
a
a
a
sześcian
Możemy wyprowadzić wzory na pola powierzchni sześcianu:
P_{b} = 4\cdot a\cdot a = 4a^{2}
P_{p} = a\cdot a = a^{2}
P_{c} = P_{b} + 2P_{p} = 4a^{2} + 2a^{2} = 6a^{2}
oraz na objętość V sześcianu:
V=P_p\cdot h=a^2\cdot a=a^3
Warto też zapamiętać wzór na długość przekątnej d sześcianu:
d = a\sqrt{3}
Dlaczego tak? Spójrzmy na rysunek:
a
a
a
a\sqrt{2}
d
A
B
C
D
E
F
G
H
przekątna d w sześcianie
|AC| = a\sqrt{2}\hspace{4mm} (jako przekątna kwadratu)
Zatem z twierdzenia Pitagorasa w \triangle ACE:
d^{2} = a^{2}+(a\sqrt{2})^{2}
d^{2} = a^{2}+2a^{2}
d^{2} = 3a^{2}\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}\hspace{4mm} (d jest długością przekątnej zatem d > 0)
d = \sqrt{3a^{2}} = \sqrt{3}a = a\sqrt{3}