0% przygotowania do matury

Sześcian

Sześcian to szczególny przypadek prostopadłościanu: wszystkie jego krawędzie są równej długości, czyli wszystkie jego boki to przystające kwadraty. Sześcian jest zatem wielościanem foremnym:

a
a
a
a
a
a
a
a
sześcian

Możemy wyprowadzić wzory na pola powierzchni sześcianu:

P_{b} = 4\cdot a\cdot a = 4a^{2}
P_{p} = a\cdot a = a^{2}
P_{c} = P_{b} + 2P_{p} = 4a^{2} + 2a^{2} = 6a^{2}

oraz na objętość V sześcianu:

V=P_p\cdot h=a^2\cdot a=a^3

Warto też zapamiętać wzór na długość przekątnej d sześcianu:

d = a\sqrt{3}

Dlaczego tak? Spójrzmy na rysunek:

a
a
a
a\sqrt{2}
d
A
B
C
D
E
F
G
H
przekątna d w sześcianie

|AC| = a\sqrt{2}\hspace{4mm} (jako przekątna kwadratu)

Zatem z twierdzenia Pitagorasa w \triangle ACE:

d^{2} = a^{2}+(a\sqrt{2})^{2}

d^{2} = a^{2}+2a^{2}

d^{2} = 3a^{2}\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}\hspace{4mm} (d jest długością przekątnej zatem d > 0)

d = \sqrt{3a^{2}} = \sqrt{3}a = a\sqrt{3}