6. Ciągi
Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego spełniają zależność:
(a_{n})^{2} = a_{n-1}\cdot a_{n+1} dla n \ge 2
Czyli kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi jego sąsiadów (wyrazu poprzedniego i wyrazu następnego).
Ta zależność jest szczególnie przydatna w zadaniach, w których mamy podane trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.
Przykład. Liczby (4x,x,2) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdź te liczby.
Skoro są to trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, możemy zastosować powyższą zależność:
x^{2}=4x\cdot 2
Obliczamy x:
x^{2}=8x
x^{2}-8x=0
x(x-8)=0
x=0\quad\vee\quad x-8=0
x=0\quad\vee\quad x=8
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania:
- Dla x=0 mamy (4x,x,2)=(0,0,2), ale nie jest to ciąg geometryczny, ponieważ nie istnieje taki iloraz q, dla którego 0\cdot q=2. To rozwiązanie odrzucamy.
- Dla x=8 mamy (4x,x,2)=(32,8,2) i jest to ciąg geometryczny o ilorazie q=\frac{1}{4}.
Czyli liczbami tymi są (32,8,2).
Pamiętajmy, żeby zawsze w przypadku podobnych zadań sprawdzać, czy uzyskane rozwiązania rzeczywiście tworzą ciąg geometryczny.