Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie cosinusów pozwala obliczyć długość boku trójkąta, jeśli znamy długości dwóch pozostałych boków oraz miarę kąta między nimi.
W dowolnym trójkącie, w którym boki mają długości odpowiednio a, b i c, zachodzą zależności:
b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos\beta
c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos\gamma
gdzie \alpha, \beta i \gamma to kąty leżące naprzeciw boków a, b i c:
Przykład. W trójkącie dwa boki mają długości 5 i 7, a kąt między nimi ma miarę 60^{\circ}. Oblicz długość trzeciego boku.
Korzystamy z twierdzenia cosinusów:
c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2\cdot 5\cdot 7\cdot\cos 60^{\circ} = 25 + 49 - 70\cdot\cos 60^{\circ}
Ponieważ \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}, otrzymujemy:
c^{2} = 74 - 70\cdot\frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
Zatem:
c = \sqrt{39}
Związek z twierdzeniem Pitagorasa
Jeśli kąt \gamma między bokami a i b trójkąta jest prosty, to jego cosinus wynosi 0. Wówczas twierdzenie cosinusów przyjmuje postać:
c^{2} = a^{2} + b^{2}
Jest to twierdzenie Pitagorasa. Można więc powiedzieć, że twierdzenie cosinusów jest jego uogólnieniem na dowolne trójkąty.