Układ równań liniowych nieoznaczony – przykład
Przykład. Rozwiąż układ: \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 4y -2x = -10 \end{cases}.
Spróbujmy go rozwiązać metodą przez podstawienie. Z pierwszego rówania wyliczamy x i podstawiamy pod drugie równanie:
\begin{cases} x = 5 + 2y \\ 4y -2\cdot (5 + 2y) = -10 \end{cases}
Rozwiązujemy drugie równanie:
4y -2\cdot (5 + 2y) = -10
4y -10 - 4y = -10
-10 = -10
Otrzymaliśmy tożsamość: y się skróciło i zostało nam -10 = -10, co jest prawdą. Jeśli otrzymujemy w rozwiązywaniu równań tożsamość to znaczy, że niezależnie od wartości niewiadomej równanie zachodzi. Czyli wartość niewiadomej jest dowolna. Co zapisujemy:
y \in \mathbb{R}
x już nie jest dowolne, bo w zależności od wartości y przybiera wartość: x = 5 + 2y. Na przykład, jeśli weźmiemy y = 5, to x = 5 + 2\cdot 5 = 15, zaś jeśli weźmiemy y = -1, to x = 5 + 2\cdot (-1) = 3. Całe rozwiązanie możemy zapisać:
\begin{cases} x = 5 + 2y \\ y \in \mathbb{R} \end{cases}
Układ ten jest układem równań nieoznaczonym. Można to było szybciej zauważyć. Równania x - 2y = 5 i 4y -2x = -10 są tożsame: jeśli drugie podzielimy stronami przez -2, to otrzymamy pierwsze:
4y -2x = -10\hspace{4mm}|:(-2)
-2y + x = 5
x - 2y = 5
W układzie współrzędnych obydwie proste się pokryją (bo to ta sama prosta). Zarówno pierwsze równanie jak i drugie równanie po przekształceniu do postaci kierunkowej dają:
x - 2y = 5
- 2y = 5 - x\hspace{4mm}|:(-2)
y = \frac{5}{-2} - \frac{x}{-2}
y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}