0% przygotowania do matury

Układ równań liniowych nieoznaczony – przykład

Zadanie. Rozwiąż układ: \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 4y -2x = -10 \end{cases}.

Spróbujmy go rozwiązać metodą przez podstawienie. Z pierwszego rówania wyliczamy x i podstawiamy pod drugie równanie:

\begin{cases} x = 5 + 2y \\ 4y -2\cdot (5 + 2y) = -10 \end{cases}

Rozwiązujemy drugie równanie:

4y -2\cdot (5 + 2y) = -10

4y -10 - 4y = -10

-10 = -10

Otrzymaliśmy tożsamość: y się skróciło i zostało nam -10 = -10, co jest prawdą. Jeśli otrzymujemy w rozwiązywaniu równań tożsamość to znaczy, że niezależnie od wartości niewiadomej równanie zachodzi. Czyli wartość niewiadomej jest dowolna. Co zapisujemy:

y \in \mathbb{R}

x już nie jest dowolne, bo w zależności od wartości y przybiera wartość: x = 5 + 2y. Na przykład, jeśli weźmiemy y = 5, to x = 5 + 2\cdot 5 = 15, zaś jeśli weźmiemy y = -1, to x = 5 + 2\cdot (-1) = 3. Całe rozwiązanie możemy zapisać:

\begin{cases} x = 5 + 2y \\ y \in \mathbb{R} \end{cases}

Układ ten jest układem równań nieoznaczonym. Można to było szybciej zauważyć. Równania x - 2y = 5 i 4y -2x = -10 są tożsame: jeśli drugie podzielimy stronami przez -2, to otrzymamy pierwsze:

4y -2x = -10\hspace{4mm}|:(-2)

-2y + x = 5

x - 2y = 5

W układzie współrzędnych obydwie proste się pokryją (bo to ta sama prosta). Zarówno pierwsze równanie jak i drugie równanie po przekształceniu do postaci kierunkowej dają:

x - 2y = 5

- 2y = 5 - x\hspace{4mm}|:(-2)

y = \frac{5}{-2} - \frac{x}{-2}

y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}

rozwiązanie graficzne nieoznaczonego układu równań liniowych \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 4y -2x = -10 \end{cases}