0% przygotowania do matury

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie to miejsce, gdzie możemy zaznaczać dwuwymiarowe punkty, czyli punkty o dwóch współrzędnych (x,y). Aby poprawnie go narysować musimy:

  • poprowadzić dwie proste (w postaci strzałek) przecinające się pod kątem prostym, zwane osiami układu: Ox (zwana osią odciętych) i Oy (zwaną osią rzędnych). Oś Ox rysujemy poziomo, oś Oy rysujemy pionowo. Oś Ox ma zwrot strzałki w prawo, zaś oś Oy do góry. Oś Ox oznaczamy dodatkowo literą x (z prawej strony), zaś oś Oy literą y (na górze),
  • punkt przecięcia osi Ox i Oy nazywamy początkiem układu współrzędnych. Ma on współrzędne (0,0), czyli 0 na osi Ox i 0 na osi Oy. Na układzie współrzędnych wpisujemy obok początku układu współrzędnych liczbę 0,
  • na każdej z osi wprowadzamy długość jednostki poprzez zaznaczenie liczby 1. Zazwyczaj bierzemy tę samą długość jednostki na osi Ox jak i na osi Oy.
1
1
0
x
y
Ox
(oś odciętych)
Oy
(oś rzędnych)
początek układu
współrzędnych
układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie

Na naszych wykresach wygląd układu współrzędnych jest uproszczony (między innymi ze względu na zachowanie czytelności wykresów):

uproszczony układ współrzędnych na naszych wykresach

Nie zwalnia nas to jednak z rysowania układu współrzędnych na maturze zgodnie z przedstawionymi wytycznymi.

Aby zaznaczyć punkt o współrzędnych (x,y) w układzie współrzędnych, liczbę x znajdujemy na osi Ox, a następnie znaleziony punkt podnosimy lub opuszczamy na wysokość y względem osi Oy:

1
1
0
2
2
3
3
5
-2
-2
-4
-5
(-5,2)
(0,5)
(\frac{3}{2},3)
(2,0)
(-2,-2)
(3,-4)
x
y
kilka punktów zaznaczonych w układzie współrzędnych

Współrzędną x punktu nazywamy nieraz odciętą tego punktu (od nazwy osi Ox: oś odciętych), zaś współrzędną y punktu nazywamy rzędną tego punktu (od nazwy osi Oy: oś rzędnych). Zatem punkt o odciętej -5 i rzędnej 2, to punkt o współrzędnych (-5,2).

Długości jednostek na osiach układu współrzędnych

Długości jednostek na obydwu osiach układu współrzędnych nie muszą być równe. Jeśli wartości współrzędnych x zaznaczanych punktów są bliskie 0, można na przykład wziąć 5 kratek na osi Ox jako jednostkę, zaś na osi Oy 1 kratkę:

1
1
0
x
y
układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie z różnymi długościami jednostek na osiach

Nie można jednak zmieniać ustalonej jednostki na jednej z osi. Tzn. jeśli ustalimy, że jednostką na osi Ox są dwie kratki, to liczbę 6 na osi Ox musimy umieścić w odległości dwunastu kratek od początku układu współrzędnych. Jeśli oś jest za krótka, to trzeba ją przedłużyć. Jeśli nie mieści się na kartce, to zmodyfikujmy długość jednostki na osi, np. z dwóch kratek na jedną kratkę.