0% przygotowania do matury

Warunek na równoległość prostych

Warunek na równoległość prostych opisanych równaniami kierunkowymi:

Dwie proste o równaniach kierunkowych: y = a_{1}x+b_{1} i y = a_{2}x+b_{2} są równoległe jeśli a_{1} = a_{2} (mają równe współczynniki kierunkowe).

Zatem:

  • proste y = 3x + 2 i y = 3x - 1 są równoległe,
  • proste y = x i y = x są równoległe,
  • proste y = -x + 1 i y = -x - \frac{34}{5} są równoległe.

Często mamy do wyznaczenia prostą równoległą do prostej o podanym równaniu. Musimy wtedy przyjąć w szukanej prostej ten sam współczynnik kierunkowy, a następnie ustalić wartość wyrazu wolnego b.

Zadanie. Znajdź równanie prostej k równoległej do prostej l\colon\ y = 4x + 1 i przechodzącej przez punkt (1,2).

Obydwie proste mają być równoległe (k\parallel l), zatem prosta k musi mieć ten sam współczynnik kierunkowy co prosta l, czyli 4:

k\colon\ y = 4x + b

Nie mamy jeszcze wyrazu wolnego b, ale wiemy, że prosta k przechodzi przez punkt (1,2). Zatem współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej:

2 = 4\cdot 1 + b\hspace{4mm} (za y podstawiliśmy 2, za x podstawiliśmy 1)

Obliczamy wartość b:

2 = 4 + b

b = -2

Zatem: k\colon\ y=4x-2.

wykresy prostych l\colon\ y = 4x + 1 i k\colon\ y=4x-2 (k\parallel l)