0% przygotowania do matury

Wykres funkcji

Wykresem funkcji nazywamy zbiór takich punktów na układzie współrzędnych, których współrzędne (x i y) reprezentują przyporządkowanie realizowane przez funkcję: liczbie x jest przyporządkowana liczba y. Zatem jeśli wykres funkcji tworzy punkt (3,-2) to znaczy, że funkcja ta liczbie 3 przyporządkowuje liczbę -2.

Każda funkcja ma swój wykres. Wykresem mogą być pojedyczne punkty:

wykres funkcji (pojedyncze punkty)

Można odczytać, że wykres tworzą punkty: (-3,3), (0,1), (1,-2), (2,1), (3,-1). Zatem liczbie -3 jest przyporządkowana liczba 3, liczbie 0 jest przyporządkowana liczba 1 i tak dalej.

Wykresem może być linia prosta:

wykres funkcji (linia prosta)

Dzięki dodatkowo zaznaczonym punktom (0,-1) i (1,0) wiemy, że funkcja liczbie 0 przyporządkowuje -1, zaś liczbie 1 przyporządkowuje liczbę 0, co pozwala na jednoznaczne wyznaczenie wzoru funkcji liniowej: y = x-1.

Wykresem może być krzywa:

wykres funkcji (krzywa)

W tym przypadku jest to parabola. Dodatkowo zaznaczone punkty (-1,0), (2,0) oraz (1,-2) umożliwiają wyznaczenie wzoru funkcji kwadratowej: y = (x-2)(x+1) = x^{2}-x-2.

Ogólnie wykresem może być dowolny zbiór punktów, tylko taki by nie było na nim dwóch różnych punktów o tej samej współrzędnej x (byłoby to sprzeczne z definicją funkcji).

Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Wiele właśności funkcji możemy odczytywać bezpośrednio z wykresu funkcji o ile specyficzne punkty są na nim dobrze oznaczone. Zobaczmy.

Mamy wykres pewnej funkcji:

wykres funkcji

Wyznaczmy dziedzinę tej funkcji: D = (-\infty, 3\rangle, gdyż dla x > 3 nie mamy wykresu funkcji. Kończy się on na x = 3. Kółko zamalowane oznacza, że x = 3 należy jeszcze do dziedziny funkcji. Gdyby kółko było niezamalowane prawy kraniec dziedziny byłby otwarty.

Wyznaczmy zbiór wartości (przeciwdziedzinę) tej funkcji: ZW = (-\infty,1\rangle. Aby wyznaczyć zbiór wartości patrzymy jakie wartości (y) przyjmuje nasza funkcja, czyli zwracamy uwagę na oś Oy. Widać, że wartości idą od -\infty do 1. Powyżej y = 1 nie mamy już wykresu funkcji. y = 1 należy jeszcze do zbioru wartości, bo mamy w punkcie (3,1) kółko zamalowane.

Teraz kolej na miejsca zerowe. Odczytujemy w jakich punktach wykres funkcji przecina oś Ox i podajemy tylko ich współrzędne x: x = -2 \vee x = -1 \vee x = 2. Wszystkie te punkty należą do dziedziny funkcji, więc są właściwymi miejscami zerowymi.

Określmy jeszcze monotoniczność funkcji:

Funkcja rośnie dla x \in (-\infty,-\frac{3}{2})\cup(0,3), zaś maleje dla x \in (-\frac{3}{2}, 0).