Wzory skróconego mnożenia

2. Wyrażenia algebraiczne

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia:

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\quad (kwadrat sumy)

(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\quad (kwadrat różnicy)

a^{2}-b^{2} = (a-b)\cdot(a+b)\quad (różnica kwadratów)

Po co nam one?

Wzory skróconego mnożenia niektórym kojarzą się z koniecznością pamiętania regułek, które tylko utrudniają życie. Tak: aby efektywnie je stosować, należy je pamiętać. Ale mają one ułatwić nam życie. Pozwalają ograniczyć liczbę obliczeń.

Obliczmy kwadrat sumy bez stosowania wzoru skróconego mnożenia:

(x + 2)^{2} = (x + 2)\cdot(x + 2) = x^{2} + 2x + 2x + 4 = x^{2} + 4x + 4

To samo teraz z wykorzystaniem wzoru na kwadrat sumy:

(x + 2)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot 2 + 2^{2} = x^{2} + 4x + 4

Krócej. A jak krócej, to i szybciej. I o to chodzi: jednym z celów wzorów skróconego mnożenia jest właśnie "skrócone mnożenie". Dzięki temu nie musimy wymnażać każdego składnika z jednego nawiasu przez każdy składnik z drugiego nawiasu ani redukować wyrazów podobnych.

Drugą zaletą jest możliwość stosowania wzorów skróconego mnożenia w drugą stronę, czyli przechodzenia z postaci rozwiniętej do postaci zwartej:

x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}

Możemy tak zrobić, ponieważ:

x^{2} - 6x + 9 = x^{2} - 2\cdot3\cdot x + 3^{2}

Ta umiejętność wymaga nieco więcej ćwiczeń, ale jest bardzo przydatna, między innymi przy rozkładaniu wielomianów na czynniki.