Wzory skróconego mnożenia

2. Wyrażenia algebraiczne.

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia:

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\hspace{4mm} (kwadrat sumy)

(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\hspace{4mm} (kwadrat różnicy)

a^{2}-b^{2} = (a-b)\cdot(a+b)\hspace{4mm} (różnica kwadratów)

Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia:

(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\hspace{4mm} (sześcian sumy)

(a-b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\hspace{4mm} (sześcian różnicy)

a^{3}+b^{3} = (a+b)\cdot(a^{2}-ab+b^{2})\hspace{4mm} (suma sześcianów)

a^{3}-b^{3} = (a-b)\cdot(a^{2}+ab+b^{2})\hspace{4mm} (różnica sześcianów)

Po co nam one?

Wzory skróconego mnożenia niektórym kojarzą się z koniecznością pamiętania regułek, które tylko utrudniają życie. Tak: aby efektywnie je stosować, należy je pamiętać. Ale mają one ułatwić nam życie. Mają oszczędzić obliczeń.

Obliczmy kwadrat sumy bez stosowania wzoru skróconego mnożenia:

(x + 2)^{2} = (x + 2)\cdot(x + 2) = x^{2} + 2x + 2x + 4 = x^{2} + 4x + 4

To samo teraz z wykorzystaniem wzoru na kwadrat sumy:

(x + 2)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot 2 + 2^{2} = x^{2} + 4x + 4

Krócej. A jak krócej, to i szybciej. I o to chodzi: jednym z celów wzorów skróconego mnożenia jest właśnie "skrócone mnożenie". Czyli brak wymnażania wyrażeń w nawiasie przez wyrażenia w drugim nawiasie i brak redukcji wyrazów podobnych.

Drugim zyskiem jest możliwość stosowania wzorów skróconego mnożenia w drugą stronę, czyli z postaci "rozwiniętej" do postaci "zwiniętej":

x^{2} - 6x + 3 = (x - 3)^{2}

Możemy tak zrobić gdyż: x^{2} - 6x + 3 = x^{2} - 2\cdot3\cdot x + 3

Ta umięjętność wymaga większej ilości ćwiczeń. Przydaje się jednak nieraz przy rozkładaniu wielomianów na czynniki, zatem warto ją opanować.