Zbiór

Zbiór to zestaw różnych elementów. U nas najczęściej takimi elementami są liczby. Elementy zbioru nie mają ustalonej kolejności – nie ma pierwszego ani ostatniego elementu.

Przyjęło się, że zbiory oznaczamy wielkimi literami, zaś ich elementy małymi.

Wypisując elementy w zbiorze stosujemy klamry. Na przykład:

A=\left\{3, 5, 7\right\}\quad (zbiór A złożony jest z elementów 3, 5 i 7)

Zbiór można zapisać również w inny sposób, mianowicie z zapisem z dwukropkiem, na przykład:

B = \left\{n\in\mathbb{N}:n>2\right\}

Dwukropek w takim zapisie zawsze czytamy jako "takie, że". Zatem w tym przypadku przeczytalibyśmy taki zapis jako:

"liczby n należące do zbioru liczb naturalnych takie, że n > 2"

Czyli zapis: B = \left\{n\in\mathbb{N}:n>2\right\} jest równoważny zapisowi: B=\left\{3, 4, 5, 6, \ldots\right\}.

Aby wskazać, że element należy do zbioru, stosujemy symbol \in:

3 \in A, gdzie: A=\left\{3, 5, 7\right\}

Aby wskazać, że element nie należy do zbioru używamy symbolu \notin:

2 \notin A, gdzie: A=\left\{3, 5, 7\right\}

Liczebność zbioru

Liczebnością zbioru (mocą zbioru) nazywamy liczbę jego elementów i oznaczamy dwoma pionowymi kreskami, z lewej i prawej strony litery oznaczającej zbiór. Na przykład:

|B| = 5, gdzie B=\left\{-1, 1, 32, 5, 18\right\}

Podzbiór

Podzbiorem zbioru A będziemy nazywać zbiór, który składa się z elementów należących do zbioru A i żadnych innych. Zatem jeśli A=\left\{3, 5, 7\right\}, to jednym z jego możliwych podbiorów jest na przykład zbiór B=\left\{3, 7\right\}. Fakt, że B jest podzbiorem zbioru A zapisujemy za pomocą symbolu \subset:

B\subset A

Zbiór pusty

Specjalnym zbiorem jest tzw. zbiór pusty. Oznaczamy go symbolem \varnothing. Zbiór pusty, jak sama nazwa wskazuje, nie zawiera żadnego elementu. Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru.

Często aby zapisać, że zbiór rozwiązań równania z x jest pusty, używamy zbioru pustego:

x \in \varnothing

Przestrzeń

Drugim specjalnym zbiorem jest tzw. przestrzeń. Przestrzeń najczęściej oznaczamy literą X. Przestrzeń to zbiór wszystkich możliwych elementów jakie rozważamy. Np. jeśli naszą przestrzenią są liczby rzeczywiste, co możemy zapisać jako: X = \mathbb{R}, to znaczy, że będziemy tworzyć zbiory tylko z liczb rzeczywistych. I jeśli teraz weźmiemy zbiór A = (4,5) (przedział liczbowy) to jest on podzbiorem przestrzeni X: A \subset X. Jeśli weźmiemy dowolny inny zbiór złożony z liczb rzeczywistych to też będzie on podzbiorem tej przestrzeni.

Aby nie mówić tylko o liczbach, weźmy teraz jako przestrzeń X wszystkie znaczki z klaseru Wiktora. Jeśli Wiktor wybierze trzy z tych znaczków, to utworzy trójelementowy podzbiór przestrzeni X.