0% przygotowania do matury

Zbiór

Pod pojęciem zbioru należy rozumieć pojemnik na różne elementy. U nas najczęściej takimi elementami są liczby. Elementy w zbiorze nie są uporządkowane. Nie wiadomo, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej.

Przyjęło się, że zbiory oznaczamy wielkimi literami, zaś ich elementy małymi.

Wypisując elementy w zbiorze stosujemy klamry. Np. A=\left\{3, 5, 7\right\} (zbiór A złożony jest z elementów 3, 5 i 7).

Nieraz spotykamy się jednak z innym zapisem zawartości zbioru, mianowicie z zapisem z dwukropkiem, na przykład: B = \left\{n\in\mathbb{N}:n>2\right\}. Dwukropek w takim zapisie zawsze czytamy jako "takie, że". Zatem w tym przypadku przeczytalibyśmy taki zapis jako: "liczby n należące do zbioru liczb naturalnych takie, że n > 2". Czyli zapis: B = \left\{n\in\mathbb{N}:n>2\right\} jest równoważny zapisowi: B=\left\{3, 4, 5, 6, \ldots\right\}.

Aby wskazać, że element należy do zbioru stosujemy symbol \in: jeśli A=\left\{3, 5, 7\right\}, to 3 \in A. Aby wskazać, że element nie należy do zbioru używamy symbolu \notin: 2 \notin A.

Liczebnością zbioru (mocą zbioru) nazywamy liczbę jego elementów i oznaczamy dwoma pionowymi kreskami, z lewej i prawej strony litery oznaczającej zbiór, na przykład: jeśli B=\left\{-1, 1, 32, 5, 18\right\}, to |B| = 5.

Podzbiorem zbioru A będziemy nazywać zbiór, który złożony jest z elementów, które należą do zbioru A i żadnych innych. Zatem jeśli A=\left\{3, 5, 7\right\}, to jednym z jego możliwych podbiorów jest na przykład zbiór B=\left\{3, 7\right\}. Fakt, że B jest pozbiorem zbioru A zapisujemy za pomocą symbolu \subset: B\subset A.

Specjalnym zbiorem jest tzw. zbiór pusty. Oznaczamy go symbolem \emptyset. Zbiór pusty jak sama nazwa wskazuje nie zawiera żadnego elementu. Zatem zapis a \in \emptyset oznacza, że element a nie istnieje. Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru.

Drugim specjalnym zbiorem jest tzw. przestrzeń. Przestrzeń najczęściej oznaczamy literą X. Przestrzeń to zbiór wszystkich możliwych elementów jakie rozważamy. Np. jeśli naszą przestrzenią są liczby rzeczywiste, co możemy zapisać jako: X = \mathbb{R}, to znaczy, że będziemy tworzyć zbiory tylko z liczb rzeczywistych. I jeśli teraz weźmiemy zbiór A = (4,5) (przedział liczbowy) to jest on podzbiorem przestrzeni X: A \subset X. Jeśli weźmiemy dowolny inny zbiór złożony z liczb rzeczywistych to też będzie on podzbiorem tej przestrzeni. Aby nie mówić tylko o liczbach, weźmy teraz jako przestrzeń X wszystkie znaczki z klaseru Wiktora. Jeśli Wiktor weźmie do koperty trzy z tych znaczków, to właśnie utworzył trójelementowy podzbiór przestrzeni X.