0% przygotowania do matury

Zdarzenie przeciwne

Tak jak dla każdego zbioru mamy jego dopełnienie, tak i dla każdego zdarzenia A istnieje jego dopełnienie: zdarzenie A' = X\setminus A = \Omega\setminus A, gdyż X = \Omega (całą przestrzenią jest tutaj przestrzeń zdarzeń elementarnych \Omega).

Zdarzenie A' nazywamy zdarzeniem przeciwym do zdarzenia A.

Zdarzenia A i A'rozłączne: A\cap A' = \emptyset.

Ponieważ P(A)+P(A') = 1, to:

P(A) = 1-P(A')

Wzór ten jest często używany w przypadkach, gdy obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego jest o wiele prostsze niż obliczenie szukanego prawdopodobieństwa zdarzenia.

Zadanie. Losujemy cztery razy ze zwracaniem liczbę ze zbioru \{1, 2, 3\}. Oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wylosujemy liczbę 1.

\Omega – wyniki czterokrotnego losowania ze zwracaniem liczb ze zbioru \{1, 2, 3\}

|\Omega| = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81\hspace{4mm} (reguła mnożenia: losujemy 4 razy ze zwracaniem, czyli za każdym razem mamy do wyboru jedną z trzech liczb: 1, 2 lub 3)

A – zdarzenie polegające na tym, że przynajmniej raz wylosujemy liczbę 1

Przynajmniej raz oznacza, że liczba 1 ma zostać wylosowana raz lub dwa lub trzy lub cztery razy (losujemy 4 razy). Zliczenie takich zdarzeń elementarnych nie jest proste. Spójrzmy zatem czym jest zdarzenie przeciwne do A:

A' – zdarzenie polegające na tym, że liczba 1 nie zostanie wylosowana ani razu

To już zliczyć jest o wiele prościej:

|A'| = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16\hspace{4mm} (reguła mnożenia: losujemy 4 razy ze zwracaniem, ale nie możemy trafić na liczbę 1, czyli za każdym razem mamy do wyboru jedną z dwóch liczb: 2 lub 3)

Teraz z definicji klasycznej prawdopodobieństwa:

P(A') = \frac{|A'|}{|\Omega|} = \frac{16}{81}

Mając P(A') bez problemu obliczymy szukane P(A):

P(A) = 1-P(A') = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81}{81} - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}

Zdarzenie przeciwne oszczędziło nam sporo pracy.