Monotoniczność ciągu

6. Ciągi

Monotoniczność ciągu

Ciągi mogą być monotoniczne, czyli rosnące, malejące lub stałe.

Ciąg jest rosnący, jeśli kolejne wyrazy ciągu są coraz większe. Ciąg jest malejący, jeśli kolejne wyrazy ciągu są coraz mniejsze. Ciąg jest stały, jeśli liczby go tworzące są sobie równe.

To samo można zapisać w następujący sposób:

Jeśli a_{n+1} > a_{n} dla dowolnego n \in \mathbb{N}_+, to ciąg (a_{n}) jest rosnący.

Jeśli a_{n+1} < a_{n} dla dowolnego n \in \mathbb{N}_+, to ciąg (a_{n}) jest malejący.

Jeśli a_{n+1} = a_{n} dla dowolnego n \in \mathbb{N}_+, to ciąg (a_{n}) jest stały.

Zapis a_{n+1} oznacza (n+1)-szy wyraz ciągu, zaś a_{n} – n-ty wyraz ciągu.

Zatem, aby sprawdzić, czy ciąg jest rosnący lub malejący, wystarczy zbadać znak różnicy a_{n+1}-a_{n} pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu:

Jeśli a_{n+1}-a_{n} > 0 dla dowolnego n \in \mathbb{N}_+, to ciąg (a_{n}) jest rosnący.

Jeśli a_{n+1}-a_{n} < 0 dla dowolnego n \in \mathbb{N}_+, to ciąg (a_{n}) jest malejący.

Przykład. Zbadaj monotoniczność ciągu: a_{n} = \frac{3}{n+1}.

Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_{1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}

a_{2} = \frac{3}{2+1} = \frac{3}{3} = 1

a_{3} = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}

a_{4} = \frac{3}{4+1} = \frac{3}{5}

Widać, że ciąg maleje. Ale na razie sprawdziliśmy tylko cztery pierwsze wyrazy, a ciąg ma ich nieskończoną liczbę. Aby sprawdzić, czy ciąg jest malejący, zbadamy znak różnicy a_{n+1}-a_{n}:

a_{n+1}-a_{n} = \frac{3}{(n+1)+1} - \frac{3}{n+1} = \frac{3}{n+2} - \frac{3}{n+1}

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i odejmujemy od siebie:

\frac{3}{n+2} - \frac{3}{n+1} = \frac{3(n+1)}{(n+2)(n+1)} - \frac{3(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{3(n+1) - 3(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{3n+3-3n-6}{(n+2)(n+1)} = \frac{-3}{(n+2)(n+1)}

Otrzymaliśmy różnicę a_{n+1}-a_{n} równą \frac{-3}{(n+2)(n+1)}. Licznik jest ujemny, a mianownik? W mianowniku mamy iloczyn dwóch liczb: (n+2) i (n+1). Obydwie liczby są dodatnie, bo n jest liczbą naturalną dodatnią. Zatem mianownik jest dodatni. Czyli cały ułamek jest zawsze ujemny (ujemna liczba przez dodatnią liczbę daje ujemną liczbę):

a_{n+1}-a_{n} = \frac{-3}{(n+2)(n+1)} < 0 dla dowolnego n, czyli ciąg (a_{n}) jest malejący.

Przykład. Zbadaj monotoniczność ciągu: b_{n} = \frac{n-3}{5}.

Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

b_{1} = \frac{1-3}{5} = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5}

b_{2} = \frac{2-3}{5} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}

b_{3} = \frac{3-3}{5} = \frac{0}{5} = 0

b_{4} = \frac{4-3}{5} = \frac{1}{5}

Widać, że ciąg rośnie. Ale znów sprawdziliśmy tylko cztery pierwsze wyrazy, a ciąg ma ich nieskończoną liczbę. Aby sprawdzić, czy ciąg jest rosnący, zbadamy znak różnicy b_{n+1}-b_{n}:

b_{n+1}-b_{n} = \frac{(n+1)-3}{5} - \frac{n-3}{5} = \frac{n-2}{5} - \frac{n-3}{5} = \frac{n-2-(n-3)}{5} = \frac{n-2-n+3}{5} = \frac{1}{5} > 0 dla dowolnego n, czyli ciąg (b_{n}) jest rosnący.

Przykład. Zbadaj monotoniczność ciągu: c_{n} = n^{2} - 4n + 3.

Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

c_{1} = 1^{2} - 4\cdot1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0

c_{2} = 2^{2} - 4\cdot2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

c_{3} = 3^{2} - 4\cdot3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0

Nie trzeba więcej wypisywać. Widzimy, że wyrazy na początku zaczęły maleć (z 0 na -1), a później rosnąć (z -1 na 0). Zatem ciąg (c_{n}) nie jest ani rosnący, ani malejący.