Podzielność liczb

Liczba całkowita a dzieli się przez liczbę całkowitą b, jeśli wynik dzielenia jest liczbą całkowitą.

Na przykład:

• liczba 10 dzieli się przez 5, ponieważ 10 : 5 = 2 (liczba całkowita)
• liczba 10 dzieli się przez -2, ponieważ 10 : (-2) = -5 (liczba całkowita)
• liczba 10 nie dzieli się przez 6, ponieważ 10 : 6 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}, a ta liczba nie jest całkowita

Dzielnik i reszta z dzielenia

Jeśli liczba a dzieli się przez liczbę b, to mówimy, że b jest dzielnikiem liczby a. Na przykład liczby 1, 2, 5 i 10 są dzielnikami liczby 10.

Często spotykamy sformułowanie: "a dzieli się przez b bez reszty". Oznacza to, że po wykonaniu dzielenia reszta wynosi 0.

Możemy to zapisać w postaci:

10 = 2 \cdot 5 + 0

Oznacza to, że 5 mieści się w 10 dokładnie 2 razy i reszta wynosi 0.

Jeśli natomiast liczba nie dzieli się bez reszty, np.:

10 = 1 \cdot 6 + 4

to oznacza, że 6 mieści się w 10 jeden raz, a reszta wynosi 4. Możemy to też zapisać jako:

10 : 6 = \frac{10}{6} = 1\frac{4}{6}

Liczba 4 to właśnie reszta z dzielenia.

Podobnie:

25 = 4 \cdot 6 + 1, więc przy dzieleniu 25 przez 6 otrzymujemy 4 i resztę 1, czyli 4\frac{1}{6}.

Oznacza to, że reszta może przyjmować wartości od 0 do b-1, ale nigdy nie może być równa b.

Na przykład:

• przy dzieleniu przez 4 reszta należy do zbioru \left\{0,1,2,3\right\}
• przy dzieleniu przez 7 reszta należy do zbioru \left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}
• przy dzieleniu przez 1 reszta zawsze wynosi 0

Wszystkie liczby całkowite dzielą się przez 1 bez reszty.